《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）4.4.1 曲线的弯曲方向——凹凸性

§4利用导数研究函数的图像 曲线的绘制 s41曲线的弯曲方向一—凹凸性 问题:如何研究曲线的弯曲方向?

§4 利用导数研究函数的图像 ——曲线的绘制 §4.1 曲线的弯曲方向——凹凸性 问题: 如何研究曲线的弯曲方向?

凹凸的定义 yJf》 B y y=)B ■■ X 图形上任意弧段图形上任意弧段 位于所张弦下方位于所张弦上方 AB是凹弧 4B是凸弧

y o x y=f(x) 图形上任意弧段 位于所张弦下方 y o x y=f(x) 图形上任意弧段 位于所张弦上方 x1 x2 A B x1 x2 A B AB是凹弧 ( AB是凸弧 ( 凹凸的定义

C(a,b)为凸区间 B (b,c)为凹区间 a b cx B为曲线AC的拐点 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线 的拐点

y o x 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线 的拐点 B b A C a c (a, b)为凸区间 (b, c)为凹区间 B为曲线AC的拐点

凹凸的判别 B y=f(x B :(x) bx b x f'(x)递增 f'(x)递减 y>0 y<0

y o x y=f(x) 凹凸的判别 y=f(x) y o x A B a b A a B b f (x)递增 y>0 f (x)递减 y<0 凹: 凸:

定理:如果fx)在a1上连续,在(n,b)内具 有二阶导数若在(a,b)内 (1)∫(x)>0,则f(x)在[a,b上的图形是凹的 (2)f(x)<0,则f(x)在,b上的图形是凸的 BC在拐点处f"(x)变号 在拐点B处的二阶导数为零 b cx 若f"(x)=0或不存在,两侧的f"(x)异号, 则x是拐点

如果f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具 有二阶导数,若在(a,b)内 (1) f (x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的 (2) f (x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的 在拐点B处的二阶导数为零 y o x B b A C a c 定理: 在拐点处f (x)变号 若f (x0 )=0或不存在,两侧的f (x)异号, 则x0是拐点

例1判断曲线=x3的凹凸性 解:y=3x2 6x 0.1 当x0时,y>0 →曲线在|0,+∞)是凹的 点(0,0)是曲线由凸变凹的拐点

例1 判断曲线y=x 3的凹凸性 解: y=3x 2 y=6x 当x0时, y>0 曲线在[0,+)是凹的 点(0,0)是曲线由凸变凹的拐点

例2求曲线p=x的拐点 解: 当x=0时,y和y都不存在 当x0→曲线在(-∞,0上是凹的 当x>0时,y<0→曲线在0,+∞)上是凸的 所求拐点为(0,0)

例2 求曲线 y= 3 x 的拐点 解: 3 2 3 1 − y  = x 当x=0时, y和y都不存在 3 5 9 4 − y  = − x 当x0曲线在(−,0]上是凹的 当x>0时, y<0曲线在[0,+)上是凸的 所求拐点为(0,0)

例3求曲线=3x4-4x3+1的拐点及凹、凸 的区间 解:y=12x3-12x2 y"=36x2-24x=36x(x 3 令y=0→x=0,x2=3 x(-∞,0)0(0,2/3)2/3(2/3,+∞) 0 0 拐点 拐点 f(x)凹 凸 327

例3 求曲线y=3x 4−4x 3+1的拐点及凹、凸 的区间 解: y=12x 3−12x 2 ) 3 2 y=36x 2−24x = 36x(x − 令y=0 3 2 0,  x1 = x2 = x f (x) f (x) (−,0) 0 (0,2/3) 2/3 (2/3,+) + 0 − 0 + 凹 拐点 拐点 (0,1) ) 27 11 , 3 2 ( 凸 凹

所求凹区间为(-∞0(2,∞) 凸区间为 3

所求凹区间为: , ) 3 2 (− ,0)( +  凸区间为: ] 3 2 [0