《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）4.习题课

§4习题课 、主要内容 例题

§4 习题课 一、主要内容 二、例题

主要内容 (一)中值定理 ◎(二)洛必达法则 (三)导数的应用

（一）中值定理 （二）洛必达法则 一、主要内容 （三）导数的应用

拉格朗日中值定理 如果函数fx)满足 (1)在闭区间[a,b上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 那么在开区间(a,b)内至少存在一点号, 使得f(b)-f(a)=f"()(ea,b) b 此公式称为拉格朗日公式 推论:导数为零的函数是常数函数

拉格朗日中值定理 如果函数f(x)满足 (1)在闭区间[a, b]上连续 (2)在开区间(a, b)内可导 那么在开区间(a,b)内至少存在一点 , 使得 ( ) ( ) ( ) f  b a f b f a =  − − ((a,b)) 此公式称为拉格朗日公式 推论:导数为零的函数是常数函数

罗尔定理 如果函数(x满足 (1)在闭区间[an,b上连续 (2)在开区间(an,b)内可导 3)f(a)=f(b) 那么在开区间(a,)内至少存在一点与 使得f(2=0

罗尔定理 如果函数f(x)满足 (1)在闭区间[a, b]上连续 (2)在开区间(a, b)内可导 那么在开区间(a,b)内至少存在一点, 使得f ()=0 (3) f(a)=f(b)

洛必达法则0型和型不定式 0 如果函数(x)和g(x)满足 (1)当x→xa或x->∞时,f(x)->0,g(x)->0 或fx)->0,g(x)→>0 (2)f(x)和g'(x)存在,且g(x)≠0 3)ln∫(x)存在(或为无穷大 g(x) 那么lm ∫(x) =lim f(x) g(c) g(r)

洛必达法则 型和 0 0 如果函数f(x)和g(x)满足 (1)当x→a或x→时, f(x)→0, g(x)→0 或f(x)→, g(x)→ (2) f (x)和g (x)存在,且g (x)0 (3) ( ) ( ) lim g x f x   存在(或为无穷大) 那么 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim g x f x g x f x   =   型不定式

其他类型不定式 0,→1.或0.1 0 11-0-0 -0→ 000.0 0 OIn0 1∞}取对数 on 0.Inoo

其他类型不定式 0    1 或 0 1 0 0 1 0 1  − 0 0 0 0   − −        0 0 1 0 取对数          0 ln ln1 0 ln0 e e e e 0

函数单调性的判别 定理:设函数yf(x)在区间(a,b)内可导,则 该函数在区间(a2b)内单调增加(或减少) 台f(x)≥0(或f"(x)≤0),x∈(a,b),而f(x)=0 只在个别点处成立 方法:用方程∫(x)=0的根及∫(x)不存在 的点来划分函数fx)的定义区间,然后判 别各区间内导数的符号: ∫'(x)>0→增∫'(x)<0→减

函数单调性的判别 设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,则 该函数在区间(a,b)内单调增加(或减少) f (x)≥0(或f (x)≤0), x(a,b),而f (x)=0 只在个别点处成立 定理: 用方程 f (x)=0的根及 f (x)不存在 的点来划分函数f(x)的定义区间, 然后判 别各区间内导数的符号: 方法: f (x)>0增 f (x)<0减

函数的极值及其求法 函数极值的定义 设函数=f(x)在点x的某邻域有定 义,如果对于该邻域内任意异于xo的x值, 都有八x)≤fx)(或(x)≥x,则称函数 f(x)在点x处取得极大值(或极小值)f(xo), 而x称为函数fx)的极大点或极小点) 极大值和极小值统称为函数的极值,极 大点和极小点统称为函数的极值点

函数的极值及其求法 设函数y=f(x)在点x0的某邻域有定 义,如果对于该邻域内任意异于x0的x值, 都有f(x)≤f(x0 ) (或f(x)≥f(x0 )),则称函数 f(x)在点x0处取得极大值(或极小值)f(x0 ), 而 x0称为函数 f(x)的极大点(或极小点). 极大值和极小值统称为函数的极值, 极 大点和极小点统称为函数的极值点 函数极值的定义:

费马定理 如果x0是函数fx)的极值点,并且f(x) 在该点可导那么f(x0)=0 定义:使导数f(x)为零的点称为函数(x) 的驻点或稳定点 注意: 可导函数的极值点一定是驻点,但 驻点不一定是极值点

费马定理 如果x0是函数f(x)的极值点,并且f(x) 在该点可导,那么f (x0 )=0 使导数f (x)为零的点称为函数f(x) 的驻点或稳定点 注意: 可导函数的极值点一定是驻点,但 驻点不一定是极值点 定义:

判别法则1(第一充分条件) (1)如果x∈(x-8xo,有f(x)>0, 而x∈(x02x+δ),有f(x)0 则八x)在x处取得极小值 (3)如果x∈(x0-8x0)及x∈(x02x0+8)时, f'(x)符号相同,则fx)在x0处无极值

(1)如果x(x0−, x0 ),有f (x)>0, 而x(x0 , x0+ ),有f (x)0, 则f(x)在x0处取得极小值 (3)如果x(x0−, x0 )及x(x0 , x0+ )时, f (x)符号相同,则f(x)在x0处无极值 判别法则1 (第一充分条件)