东北大学：《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第五章 保角映射

复变函数与积兮变换 第五章保角映射 §5.1映射与保角映射的概念 §5.2分式线性映射 §5.3几个初等函数所构成的映射 §5.4保角映射举例

§5.4 保角映射举例 §5.3 几个初等函数所构成的映射 §5.2 分式线性映射 §5.1 映射与保角映射的概念

复变数与 主要内容 保角映射在热力学、空气动力学以及电 和磁场理论等的研究中都有重要应用本章从 变解析函数导数的几何意义出发,引出保角映 射的概念,重点讨论分式线性映射及若干初 等函数所构成的保角映射及其性质

保角映射在热力学、空气动力学以及电 磁场理论等的研究中都有重要应用. 本章从 解析函数导数的几何意义出发，引出保角映 射的概念，重点讨论分式线性映射及若干初 等函数所构成的保角映射及其性质

复变函数与积兮变换 §5.1映射与保角映射的概念 1映射的概念 2两曲线的夹角 3导数的几何意义 4保角映射的概念 5关于保角映射的一般理论

§5.1 映射与保角映射的概念 1 映射的概念 2 两曲线的夹角 3 导数的几何意义 4 保角映射的概念 5 关于保角映射的一般理论

复变数 5.1.1映射的概念 复变函数反映了两对变量x,y和u,ν之间的 5对应关系,所以可以看成两个复平面中点集的对 积应关系 设W=∫(x)是复平面点集D上的复变函数,即 变 换z平面中点集D为定义域,其值域G是w平面中点集, 记为Gf(D,这时称w=f(z)为从D到G的映射.对 于zn∈D,称wo=∫(n)为映射w∫(x)下点动在w

5.1.1 映射的概念 复变函数反映了两对变量 x, y 和 u, v 之间的 对应关系，所以可以看成两个复平面中点集的对 应关系. 设 w  f (z)是复平面点集D上的复变函数, 即 z平面中点集D为定义域, 其值域G是w平面中点集, 记为G=f (D), 这时称w=f (z)为从D到G的映射. 对 于 称 为映射w=f (z)下点 z z0  D, w0  f (z0 ) 0在 w

复平面上的像,而称z为映射vf(x)下点在平面 变 画上的原像.同时称G为映射w=(x)下D在w平面上 刻的像,称D为映射r=∫(a)下G在z平面上的原像 与积 如果w=f(z)把D中的不同点映射成G中的不 安同点,即如果,2都是D中的点,列≠,那么有 换f(x1)≠f(2,则称形=f()是从D到G的双方单值 映射或一对一的映射

平面上的像, 而称z0为映射w=f (z)下点w0在z平面 上的原像. 同时称G为映射w=f (z)下D在w平面上 的像, 称D为映射w=f (z)下G在z平面上的原像. 如果w=f (z)把 D中的不同点映射成G中的不 同点, 即如果 z1 , z2 都是D中的点, z1  z2 , 那么有 1 2 f (z )  f (z ), 则称 w=f (z)是从D到G的双方单值 映射或一对一的映射

5.1.2两曲线的夹角 复变函数与积分变一 设平面内的有向光滑曲线C:z=z(t)(a≤t≤B) 数当t增大时,点z移动的方向为正向 在曲线C上取两点:P艹(t,P→孔(t+△r) 分作割线PP,规定割线的正向 拱对应于增大的方向 z(o△r 于是割线PP与向量 Qa+43同向0

5.1.2 两曲线的夹角 当t 增大时, 点 z 移动的方向为正向. 设z平面内的有向光滑曲线C :z  z(t) (  t   ), y O x C . . P0 P ( ) 0 z t ( ) 0 z t  t 在曲线C上取两点: P0 0 z(t ), P 0 z(t  t). 作割线P0P , 规定割线的正向 对应于t 增大的方向. 于是割线P0P 与向量 同向. 0 0 z(t t) z(t ) t    

复变数与 当洛C P时,割线PP—C在P0处切线 z(0+△)-z(t0) (to) △t→>0 △t 秋因为C是北滑曲线,所以z(4)≠0(a<<)于是 变向量x()是曲线C的切向 换 量,与C相切于点0=x(t0 z(to+△n) 规定z(t)的方向为C z(0)= 上点z处切线的正向

割线 C在P0处切线. P0P C . . 0 p p ( ) 0 z t ( ) 0 z t  t ( ) 0 z t y O x 当P 时, P0 沿C 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ). t z t t z t z t t         因为C是光滑曲线, 所以z (t0 )  0  t0   , 于是 向量 z (t0 )是曲线C的切向 0 0 量, 与C相切于点 z  z(t ). 0 规定 的方向为  z z (t0 ) C 上点z0处切线的正向

y 复()C在点处切线正向与x轴(t 变 函正向之间的夹角是Argz( Argz(o) 数 与(2)设平面内的两条有向光 积 分滑曲线G1:z=x()和C2:z=2(1)相交于a(=0)点 变 换足列处曲线C和C2正向之间 的夹角为两条曲线在动处切线 正向之间的夹角 Arg z2(to)-Arg z (to

C . 0 z y O x ( ) 0 z t A 0 rg z (t ) (1) C在点z0处切线正向与x 轴 正向之间的夹角是 A 0 rg z (t ). (2) 设z平面内的两条有向光 C2 C1 . 0 z 滑曲线 和 相交于z0 (t=t0)点. 1 1 C :z  z (t) 2 2 C :z  z (t) 规定z0处曲线C1和C2正向之间 的夹角为两条曲线在z0处切线 正向之间的夹角. A 2 0 1 0 rg z (t )  Arg z (t )

5.1.3导数的几何意义 复变函数与积兮变换 设wf(z)在区域D内解析,且在D内∫(z)≠0 Argf(zo)的几何意义 设C:z=x(t)(a≤t≤B)是D内过x0=x(0)的 分有向光滑曲线,t增大的方向为正向.因为C光滑, 所以z(t)≠0.对于 W=∫[z(D)(a≤t≤B), w'(t)=∫(z)z(t)≠0 于是w=f(z将z平面上有向

5.1.3 导数的几何意义 所以 z (t)  0. C 0 z . y O x (z) ( ) 0 z t 设w=f (z)在区域 D内解析, 且在 D内 f (z)  0. (1) Arg f (z0 ) 的几何意义 设 C :z  z(t) (  t   ) 是 D内过 z0  z(t0 ) 的 有向光滑曲线, t 增大的方向为正向. w  f[z(t)] (  t   ), w(t)  f (z)z (t)  0. 于是w=f (z)将z平面上有向 对于 因为 C 光滑

复光滑曲线C映射成平面内过点mn=/(x)的有向 变光滑曲线r:m=n1a)(a≤≤)t增大的方向 数为正向,且v(4)=f1)r()是曲线在n处的 5切向量 积分变换 w=f(z) z'(t0)

光滑曲线  : w  f[z(t)]   t   , t 增大的方向 C 0 z . y O x (z) ( ) 0 z t v O u (w) w0 .  w  f (z) 光滑曲线C 映射成w平面内过点w0  f (z0 ) 的有向 为正向, 且 w(t0 )  f [z(t0 )]z (t0 )是曲线在w0处的 切向量. 0 w(t )