东北大学：《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第十章 小波变换基础

复变数与积分变换 变第十章小波变换基础 §10.1小波变换的背景 §10.2窗口 Fourier变换简介 §10.3连续小波变换 §10.4二进小波变换和离散小波变换 §10.5多分辨分析 §10.6 Mallat分解与重构算法

复变数 主要内容 小波分析是当前数学中一个迅速发展的 5新领域,它也是种积分变换是一个时间和 科频率的局域变换,因而能有效地从信号中提 或取信息,通过伸缩和平移等运算功能对函数 或信号进行多尺度细化分析,解决了 Fourier 变换不能解决的许多困难问题.本章简单介绍 小波变换的基本理论和应用

小波分析是当前数学中一个迅速发展的 新领域,它也是一种积分变换,是一个时间和 频率的局域变换，因而能有效地从信号中提 取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数 或信号进行多尺度细化分析,解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题.本章简单介绍 小波变换的基本理论和应用

本章将 Fourier变换记为f(o)=F()=FLf(t), 复变数与 R表示实数,Z表示整数,N表示正整数 L(R)={f()_f)d<o 和表示绝对可积函数构成的空间, 变换 L(R)=1f() f(t dt<oo 表示平方绝对可积函数构成的空间,对f,g∈L2(R) ,g)=」f(O)( 表示空间L2(R中的内积,g()是g()的共轭

本章将Fourier变换记为 ˆ f ()  F() F [ f (t)], R表示实数, Z表示整数, N表示正整数.   1 L (R) f (t) f (t) dt       表示绝对可积函数构成的空间,   2 2 L (R) f (t) f (t) dt       表示平方绝对可积函数构成的空间, 对 2 f , g  L (R), f , g f (t)g(t)dt     表示空间 中的内积, 是 的共轭. 2 L (R) g(t) g(t)

§10.1小波变换的背景 复变函数与积分变一 自从1822年 Fourier发表《热传导解析理论》 以来, Fourier变换一直是在信号处理等工程应用 分领域中得到广泛使用且极其有效的一种分析手段 换 Fourier变换和逆变换将研究的内容从时域变换到 频域,也就是从一个空间变换到另一个空间,这种 ④研究思想和方法是重大的创新

§10.1 小波变换的背景 自从1822年Fourier发表《热传导解析理论》 以来，Fourier变换一直是在信号处理等工程应用 领域中得到广泛使用且极其有效的一种分析手段． Fourier变换和逆变换将研究的内容从时域变换到 频域, 也就是从一个空间变换到另一个空间, 这种 研究思想和方法是重大的创新

如果把f(0)理解为信号的描述, Fourier变换和 复变数与积 逆变换的表达式 +oO f(a)=f(o)lodt,t∈R f(t)= f(o)e"d,O∈R 2兀 变说明,信号的 Fourier变换能给出信号的频率特性, 换 即其频谱分析.由于 Fourier变换和逆变换具有很好 的对称性,使得信号的重构很容易进行.特别是后来 离散 Fourier变换(DFT)的发展,以及1965年提出的

如果把 f (t)理解为信号的描述, Fourier变换和 逆变换的表达式 ˆ ( ) ( ) d , i t f f t e t t R         1 ˆ ( ) ( ) d , 2 i t f t f e R           说明, 信号的 Fourier 变换能给出信号的频率特性, 即其频谱分析. 由于Fourier变换和逆变换具有很好 的对称性, 使得信号的重构很容易进行. 特别是后来 离散Fourier变换(DFT)的发展, 以及 1965 年提出的

复快速 Fourier变换(FT)与计算机技术相结合,使 变得 fourier变换的应用更加广泛和有效在科学技 数术的各个领域发挥过重要作用 与 但是 Fourier变换仅适用于确定性的平稳信号. 积 分从定义可以看出,为了应用 Fourier变换去研究一个 变 换信号的频谱特性,必须获得在整个时域-<t<+ 中信号的全部信息.由于em|=1,即 Fourier变换 的积分核在任何情形下的模都是1,所以信号f(的 频谱∫(o)的任一频点值都是由∫()在整个时间域

快速Fourier变换(FFT)与计算机技术相结合, 使 得Fourier变换的应用更加广泛和有效, 在科学技 术的各个领域发挥过重要作用. 但是Fourier变换仅适用于确定性的平稳信号. 从定义可以看出, 为了应用Fourier变换去研究一个 信号的频谱特性, 必须获得在整个时域  t   中信号的全部信息. 由于 e it  1, 即Fourier变换 的积分核在任何情形下的模都是1, 所以信号f (t)的 频谱 f ˆ () 的任一频点值都是由 f (t) 在整个时间域

复仁上的贡献决定的反之,信号0在任时刻的状态 变也是由频谱fo)在整频域一<O<+上的贡献 山数与积分变 数决定的所以在时域中 Fourier变换没有任何分辨能 力,通过有限频段上的∫(o)不能获得信号f()在任何 分有限时间间隔内的频率信息因为一个信号在某个时 换刻的一个小的邻域中发生了变化那么整个频域都要 受到影响这就是说, Fourier变换在时域没有局域特 性.同样地分析可见,在频域上 Fourier变换也没有局 域特性

上的贡献决定的; 反之, 信号f (t)在任一时刻的状态 也是由频谱 f ˆ ()在整个频域     上的贡献 决定的. 所以在时域中Fourier变换没有任何分辨能 力, 通过有限频段上的 f ˆ ()不能获得信号f (t)在任何 有限时间间隔内的频率信息. 因为一个信号在某个时 刻的一个小的邻域中发生了变化, 那么整个频域都要 受到影响. 这就是说, Fourier变换在时域没有局域特 性. 同样地分析可见, 在频域上Fourier变换也没有局 域特性．

为研究信号在局部时间范围的频域特征,1946 复 变年G提出了著名的Ghbo变换之后又进一步发 画展为窗口 Fourier变换也称短时 Fourier变换(sTFT 数 与STFT弥补了 Fourier变换的一些不足,已在许多领域 积获得了广泛的应用.但是,由于STF的时频窗口大 小和形状固定,与时间和频率无关,所以并没有很好 变 换地解决时一频局部化问题这对于分析时变信号来说 是不利的.高频信号一般持续时间很短,而低频信号 持续时间较长,因此,我们期望对于高频信号采用小 时间窗,对于低频信号则采用大时间窗进行分析

为研究信号在局部时间范围的频域特征, 1946 年Gabor提出了著名的Gabor变换, 之后又进一步发 展为窗口Fourier变换, 也称短时Fourier变换(STFT). STFT弥补了Fourier变换的一些不足, 已在许多领域 获得了广泛的应用. 但是, 由于STFT的时-频窗口大 小和形状固定, 与时间和频率无关，所以并没有很好 地解决时－频局部化问题, 这对于分析时变信号来说 是不利的. 高频信号一般持续时间很短, 而低频信号 持续时间较长, 因此, 我们期望对于高频信号采用小 时间窗, 对于低频信号则采用大时间窗进行分析．

复 在进行信号分析时,这种变时间窗的要求同 变 画STFT固定时窗的特性是矛盾的,STF无法满足 蟲这种需要.此外,在进行数值计算时,人们希望 5将基函数离散化,以节约计算时间及存储量.但 积 分 Gabor基无论怎样离散,都不能构成一组正交基, 变因而给数值计算带来了不便 换 小波变换的思想来源于伸缩与平移方法,在小 波变换的系统理论发展起来以前,其基本思想已经 ④在许多领域的应用中有所体现

在进行信号分析时，这种变时间窗的要求同 STFT 固定时窗的特性是矛盾的, STFT无法满足 这种需要．此外，在进行数值计算时，人们希望 将基函数离散化，以节约计算时间及存储量．但 Gabor基无论怎样离散，都不能构成一组正交基， 因而给数值计算带来了不便． 小波变换的思想来源于伸缩与平移方法, 在小 波变换的系统理论发展起来以前, 其基本思想已经 在许多领域的应用中有所体现．

在1910年Haar提出的规范正交基应该是小波分 复 变析的最早萌芽1938年, littlewood-pale对 Fourier 函级数按二进制频率成分进行分组1965年, Calderon 数 与发现再生公式它的离散形式已接近小波展开1981 年, Stormberg对Har系进行了改进证明了小波函 变 数的存在性.小波概念的真正出现应该是在1984年, 换当时法国地球物理学家 Morlet在分析地震数据时提 出将地震波按一个确定函数的伸缩平移系展开.然 ⑦后数学家Mr对ort提出的方法进行系统研究 并与其他一些人的工作联合奠定了小波分析的基础

在1910年Haar提出的规范正交基应该是小波分 析的最早萌芽. 1938年, Littlewood-Paley 对 Fourier 级数按二进制频率成分进行分组. 1965年, Galderon 发现再生公式, 它的离散形式已接近小波展开. 1981 年，Stormberg对Haar系进行了改进, 证明了小波函 数的存在性．小波概念的真正出现应该是在1984年, 当时法国地球物理学家Morlet在分析地震数据时提 出将地震波按一个确定函数的伸缩平移系展开. 然 后数学家Meyer对Morlet提出的方法进行系统研究, 并与其他一些人的工作联合奠定了小波分析的基础