北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第三章 行列式（3.2-3.2）2n阶方阵的行列式（2/2）

第一学期第十三次课 第三章§2n阶方阵的行列式(续) 325行列式的按任意列展开和特殊矩阵的行列式 1、行列式的按任意行(列)展开 定义命4=(-)M,称为an的代数余子式 命题按行列式的第/行展开,有{=∑a4 证明将第i行先后与第i-1,-2…,1行交换,再展开 推论行列式按第j行展开,有叫=∑a4 2、范德蒙行列式 形如 的行列式称为范德蒙行列式。 命题4=Ⅱ(a-a si<j≤n 证明对n作归纳 3、准对角阵的行列式 命题 B=4 证明对n作归纳 推论 0 B 4|B 推论 4、可微函数的方阵的行列式的徽商

第一学期第十三次课 第三章 §2 n 阶方阵的行列式（续） 3.2.5 行列式的按任意列展开和特殊矩阵的行列式 1、行列式的按任意行（列）展开 定义 命 ( 1)i j A M ij ij + = − ，称为 ij a 的代数余子式。 命题 按行列式的第 i 行展开，有 1 n ij ij ij j a a A = = 。 证明 将第 i 行先后与第 i i − − 1, 2, ,1 行交换，再展开。 推论 行列式按第 j 行展开，有 1 n ij ij ij i a a A = =  。 2、范德蒙行列式 形如 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 n n n n n a a a A a a a − − − = 的行列式称为范德蒙行列式。 命题 1 ( ) j i i j n A a a    = −  。 证明 对 n 作归纳。 3、准对角阵的行列式 命题 0 n n m m A A B B   =  。 证明 对 n 作归纳。 推论 0 n n m m A A B B    = 。 推论 1 2 1 2 * n n A A A A A A = 。 4、可微函数的方阵的行列式的微商

命题设a()在(an,b)上可导,则 a1()a12(1) ()a12() (t)a2(D) ∑nvo)a2() I (t)an2(t) (1)an2(1) 证明对n作归纳

命题 设 ( ) ij a t 在 ( , ) a b 上可导，则 11 12 1 11 12 1 21 22 2 1 2 1 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n i i in i n n nn n n nn a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t =       =          。 证明 对 n 作归纳