北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第六章 带度量的线性空间（6.2）欧氏空间中特殊的线性变换

设M是n维欧氏空间V的一个子空间,易知M关于V的内积也成一个欧氏空间.定义 M={∈对一切B∈M有(a,B)=0 称M为M的正交补.显然M也是V的子空间 命题1.5设M是n维欧氏空间V的子空间,则V=M⊕M 证明设a∈M∩M+,则由正交补的定义得(a,a)=0.所以a=0.这说明M+M 是直和.取M的一组标准正交基E,E2,…,s,先将它扩为V的一组基 E,a1,…,an将它先正交化,再单位化由于E1,E2…,E,已经是两两正 交的单位向量,故先正交化,再单位化后保持不变,得到E1,E2…,E,Es1,…,En·显然 E1,…,En与M中向量都正交,故E1,…,En∈M.于是 V=L ,E3)+L( )cM+MCV 从而V=M⊕M 推论n维欧氏空间V中的任一两两正交的单位向量组s,E2,…,E,都可以扩充为 丿的标准正交基 证明设ML(E1,E2…,E、),在M中取出一组标准正交基E、1,…,En,则 E1,E2…,E、,Es1,…En就是V的一组标准正交基 最后介绍一下欧氏空间同构的概念. 设VV2是两个欧氏空间,如果存在V到V2的一个映射σ,满足 (1)σ是V到V2的线性空间的同构映射 2)σ保持内积关系 则称σ是欧氏空间V到欧氏空间v2的同构映射,称V与V同构 第六章§2欧氏空间中特殊的线性变换 1.正交变换 设V是n维欧氏空间,A是V内一个线性变换如果对任意a,B∈V都有 AB)=(a,B) 则称A是V内的一个正交变换 正交变换的四个等价表述 命题2.1A是n维欧氏空间V内的一个线性变换,则下列命题等价:

设 M 是 n 维欧氏空间 V 的一个子空间,易知 M 关于 V 的内积也成一个欧氏空间.定义 =   |  ( , ) = 0 ⊥ M  V 对一切 M有   称 ⊥ M 为 M 的正交补.显然 ⊥ M 也是 V 的子空间. 命题 1.5 设 M 是 n 维欧氏空间 V 的子空间，则 ⊥ V = M  M . 证明 设 ⊥   M  M ,则由正交补的定义得( , )=0.所以  = 0 .这说明 ⊥ M + M 是直和 . 取 M 的 一 组 标 准 正 交 基 1 2 s  ， ，， , 先 将 它 扩 为 V 的 一 组 基 1 2 s  ， ，， , s 1 n  + ,  , .将它先正交化,再单位化.由于 1 2 s  ， ，， 已经是两两正 交的单位向量,故先正交化,再单位化后保持不变,得到 1 2 s  ， ，， , s 1 n  ,  , + .显然 s 1 n  ,  , + 与 M 中向量都正交,故 s 1 n  ,  , + ⊥ M .于是 V=L( 1 2 s  ， ，， )+L( s 1 n  ,  , + )  +  ⊥ M M V 从而 ⊥ V = M  M . 推论 n 维欧氏空间 V 中的任一两两正交的单位向量组 1 2 s  ， ，， 都可以扩充为 V 的标准正交基. 证 明 设 M=L( 1 2 s  ， ，， ), 在 ⊥ M 中取出一组标准正交基 s 1 n  ,  , + , 则 1 2 s  ， ，， , s 1 n  ,  , + 就是 V 的一组标准正交基. 最后介绍一下欧氏空间同构的概念. 设 1 2 V ,V 是两个欧氏空间,如果存在 V1到V2 的一个映射  ,满足 (1)  是 V1到V2 的线性空间的同构映射 (2)  保持内积关系. 则称  是欧氏空间 V1到欧氏空间V2 的同构映射,称 V1与V2 同构. 第六章 §2 欧氏空间中特殊的线性变换 1．正交变换 设 V 是 n 维欧氏空间，A 是 V 内一个线性变换.如果对任意 ,  V 都有 (A , A  ) = (,  ) 则称 A 是 V 内的一个正交变换. 正交变换的四个等价表述: 命题 2.1 A 是 n 维欧氏空间 V 内的一个线性变换,则下列命题等价:

(1)A是正交变换 (2)A把V的标准正交基变为标准正交基 (3)A在标准正交基下的矩阵为正交矩阵; (4)对任意a∈V,AaH=a 证明(1)→(2):设E,E2,En是V的一组标准正交基,则由正交变换的定义 A1|=√Ac1,Ac1)=√(1,)=1 )=(E;,E;)=0(i≠j 于是,AE1,AE2,…,AEn是V的标准正交基 (2)→(3):A在E,E2…,En下的矩阵A恰是E,E2,…,En到AE1,AE2 的过渡矩阵,从而A是正交矩阵 (3)→(4):设A在标准正交基E,E2…,5n下的矩阵为A设a=∑a6;,则 Aa,Aa)=(i,62…,En)A:|,(s,E2……,En):|) (a1…an)4A ):|=(a,a) 开方即得|AaHa (4)→(1):如果A保持向量长度不变,则(Aa,Aa)=(a,a),(AB,AB)=(B,B) (A(a+B),A(a+B)=(a+B,a+B),展开 (Aa, Aa)+2(Aa, A B)+(AB,AB)=(a, a)+2(a, B)+(B,B) 利用前两个式子,得(Aa,AB)=(a,B) 证明显然E∈O(m);如果AB∈O(n),则(ABa,ABB)=(Ba,BB)=(a,B),故 AB∈O(n);若A∈O(m),则显然可逆,于是 (a,B)=(Ea,EB)=(A(aa),a(a B)=b)=(aa,a B) 从而A-∈O(m).于是O(m)构成群 由于正交矩阵的行列式只可能为1或-1,我们以此对正交变换进行分类:如果正交变换A

(1) A 是正交变换; (2) A 把 V 的标准正交基变为标准正交基; (3) A 在标准正交基下的矩阵为正交矩阵; (4) 对任意  V ,|A  |=| |. 证明 (1)  (2):设 1 2 n  ， ，， 是 V 的一组标准正交基,则由正交变换的定义: |A i  |= (A ,A ) i i   = ( , ) i i   =1 (A i  A j  )=( i  , j  )=0 (i  j) 于是, A 1  , A , ,  2  A n  是 V 的标准正交基. (2)  (3): A 在 1 2 n  ， ，， 下的矩阵 A 恰是 1 2 n  ， ，， 到 A 1  , A , ,  2  A n  的过渡矩阵,从而 A 是正交矩阵. (3)  (4):设 A 在标准正交基 1 2 n  ， ，， 下的矩阵为 A,设  == n i ai i 1  ,则 (A  , A  )=(( 1 2 n  ， ，， )A           n a a  1 ,( 1 2 n  ， ，， )A           n a a  1 ) =                      an a A  1                     an a A  1 = (a1  an )AA           n a a  1 = ( ) a1  an           n a a  1 = (,) 开方即得|A  |=| |. (4)  (1):如果 A 保持向量长度不变,则(A , A  )= (,) ,(A  ,A  )= (,  ) (A(  +  ),A(  +  ))=(  +  , +  ),展开: (A , A  )+2(A , A  ) +(A  ,A  )= (,) +2 (,  ) + (,  ) 利用前两个式子,得(A , A  ) = (,  ) . 证明 显然 E O(n) ;如果 A,B O(n) ,则(AB , AB  )=(B  ,B  )= (,  ) ,故 AB O(n) ;若 A O(n) ,则显然可逆,于是 ( , ) (   = E , E  ) ( = A ( A 1), − A ( A 1 )) − =  ) ( = A 1, − A 1 ) − , 从而 A −1 O(n) .于是 O (n) 构成群. 由于正交矩阵的行列式只可能为 1 或-1,我们以此对正交变换进行分类:如果正交变换 A

在某一组基下的矩阵的行列式为1,则称A为第一类正交变换;如果行列式为-1,则称A为第 二类正交变换

在某一组基下的矩阵的行列式为 1,则称 A 为第一类正交变换;如果行列式为-1,则称 A 为第 二类正交变换