北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第七章 线性变换的Jordan标准型 7.1 幂零线性变换的 Jordan 标准型

第二学期第十次课 第七章线性变换的 Jordan标准型 §1幂零线性变换的 Jordan标准型 A是数域K上n维线性空间V上的线性变换,如果存在正整数m,使Am=0,则称A是一个 幂零线性变换 对数域K上n阶方阵A,如果存在正整数m,使Am=0,则称A为幂零矩阵. 命题幂零线性变换的特征值等于 证明设λ是V上幂零线性变换A的特征值,则存在V中非零向量a,使得 Aa=d a 假设Am=0,则 从而m=0,元=0. 设A是数域K上n维线性空间V上的一个幂零线性变换取V中任意非零向量a,则存在 最小的正整数k,使得Aa≠0,但Aka=0.可以证明:向量组a,Aa,…,A-a是线性 无关的令I(a)=L(a,Aa,…,A-a),则I(a)为A的一个不变子空间,且dimI(a)=k. 称I(a)为A的循环不变子空间A限制在I(a)中,在基Axa,…,Aa,a下的矩阵为 定义形如 0 的准对角矩阵称为 Jordan形矩阵而主对角线上的小块方阵J称为 Jordan块 命题数域K上的n维线性空间V上的幂零线性变换A在某组基下的矩阵可以成为 Jordan形的充分必要条件是V可以分解为A的循环不变子空间的直和

第二学期第十次课 第七章 线性变换的 Jordan 标准型 §1 幂零线性变换的 Jordan 标准型 A 是数域 K 上 n 维线性空间 V 上的线性变换,如果存在正整数 m,使 A m =0,则称 A 是一个 幂零线性变换. 对数域 K 上 n 阶方阵 A, 如果存在正整数 m,使 m A =0,则称 A 为幂零矩阵. 命题 幂零线性变换的特征值等于 0. 证明 设  是 V 上幂零线性变换 A 的特征值,则存在 V 中非零向量  ,使得 A  =  假设 m A =0,则 A m  = m  =0 从而  m =0,  =0. 设 A 是数域 K 上 n 维线性空间 V 上的一个幂零线性变换.取 V 中任意非零向量  ,则存在 最小的正整数 k,使得 A k−1   0,但 A k  =0.可以证明:向量组  ,A  ,…, A k−1  是线性 无关的.令I(  )=L(  ,A  ,…, A k−1  ),则I(  )为A 的一个不变子空间,且dim I(  )=k. 称 I(  )为 A 的循环不变子空间.A 限制在 I(  )中,在基 A k−1  ,…,A  , 下的矩阵为                 = 0 0 1 0 0 0 1 J     定义 形如             = s 2 1 J 0 0 J J J  , ni ni i 0 0 1 0 0 1 0 J              =   的准对角矩阵称为 Jordan 形矩阵,而主对角线上的小块方阵 i J 称为 Jordan 块. 命题 数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的幂零线性变换 A 在某组基下的矩阵可以成为 Jordan 形的充分必要条件是 V 可以分解为 A 的循环不变子空间的直和

证明必要性设A在某组基下的矩阵可以成为 Jordan形,则V可分解为A的不变子空间 的直和 MI 且在M内存在一组基E1,E2…,Em,使A限制在M1内在此基下的矩阵为 n: xn 这表明M=I(Em),即M为A的循环不变子空间 充分性若V=I(a1)⊕Ia2)⊕…⊕Ia),在每个I(a1)内选取基A"-a1,…, Aa:,a:.则它们合并为V的一组基,在此组基下A的矩阵即为 Jordan形矩阵 定理数域K上的n维线性空间V上的幂零线性变换A在某组基下的矩阵可以成为 Jordan形。 证明只用证V可以分解为A的循环不变子空间的直和对n作数学归纳法

证明 必要性 设 A 在某组基下的矩阵可以成为 Jordan 形,则 V 可分解为 A 的不变子空间 的直和: V = M1  M2  Ms 且在 Mi 内存在一组基 i i1 i2 in  ， ，， ,使 A 限制在 Mi 内在此基下的矩阵为 ni ni i 0 0 1 0 0 1 0 J              =   这表明 Mi =I( i in  ),即 Mi 为 A 的循环不变子空间. 充分性 若 V I( ) I( ) I( ) = 1   2   s ,在每个 I(  i )内选取基 A ni −1  i ,…， A  i , i .则它们合并为 V 的一组基,在此组基下 A 的矩阵即为 Jordan 形矩阵. 定理 数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的幂零线性变换 A 在某组基下的矩阵可以成为 Jordan 形。 证明 只用证 V 可以分解为 A 的循环不变子空间的直和.对 n 作数学归纳法