《高等数学简明公式》教学资源：第三章 矢量代数

木艾迪www.tsinghuatutor.com电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 第三章矢量代 定义 设矢量a=x+x+zk={y,z} (1)矢量a的模=Vx2+y2+2(2)单位矢量 +y2+2x2+y2+2 (3)矢量a的方向余弦cosa= B coS r (4)设M1(x,yn,=1)M2(x2,y2,=2),则M1M2={x2-x1,y2-y1,2-= 、矢量的运算 加减运算 设 2,y2,2则a±b 2.数乘矢量 a,2>0,则a与a同向 设a={x,y,=为数量,={0.乙=0,则为零矢量则,={x, a,A>0,则与a反向 矢量的数积(点积,内积) 设a={x1y1=,b={x2,y2,=2则矢量a与b的数量积 ab=lalblcos(a, b)=x, x2+y1y2+=1=2 4.矢量的矢积(叉积,外积) 设两矢量a与b,若彐一个矢量C,满足条件: l= abasin(a,b):②c⊥a,c⊥b即C垂直于ab所确定的平面:③a,b,c成右手系 则矢量C称为矢量于an,b的矢量乘积,记为 axb=r, y x 5.混合积 设有三个矢量a={1=b=12y2c={,y,-}先作a,b的矢积axb再与c作数乘积(axb 则称其为abc的混合积,记做[ab,d]

水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 第三章 矢量代数 一、定义 设矢量 =++= { } ,, zyxzkxjxia （1）矢量 的模 a 222 ++= zyxa （2）单位矢量 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ++++++ == 222222222 , , zyx z zyx y zyx x a a ao （3）矢量 的方向余弦 a 222 222 222 cos sin, cos, zyx z zyx y zyx x ++ = ++ = ++ α = β γ （4）设 ( ) ( ),,,,,, 2222111 zyxMzyxM ，则 { ,, −−−= zzyyxxMM 12121221 } 二、矢量的运算 1．加减运算 设 a = { }{ 111 = ,,,,, zyxbzyx 222 }则 a ± = { ± ± ,, ± zzyyxxb 212121 } 2．数乘矢量 设 = { }zyxa ,,, λ 为数量， 则， λ = {λ λ ,, λzyxa } ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > > = － 与则 反向 ＝， ，则 为零矢量 与则 同向 aa aa a aa aa a λλλ λλ λλλ λ ,0, 0 0 ,0, 0 0 3．矢量的数积（点积，内积） 设 { }{ ,,,,,, 111 222 = = zyxbzyxa } 则矢量 a 与 的数量积 b ( ) 21 z 2121 =⋅ ,cos ++= zyyxxbababa 4．矢量的矢积（叉积，外积） 设两矢量 a 与 ，若 一个矢量 b ∃ c ，满足条件： ① = ( ,sin babac )； ② ⊥ ⊥ bcac ,, 即c垂直于 所确定的平面； ,ba ③ 成右手系 ,, cba k yx yx j zx zx i zy zy zyx zyx kji ba bac 22 11 22 11 22 11 222 =× 111 = − + = × 则矢量 c 称为矢量于 a,b 的矢量乘积，记为 5．混合积 设有三个矢量a ={ 111 }{ } = 222 ={ ,,,,,,,, zyxczyxbzyx 333 }先作 a,b 的矢积 ×ba 再与 c 作数乘积 ( ) ， 则称其为 a 的混合积，记做[ ] × cba ,, cb ,, cba 12

木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 x VI [a,b, c]=(axb)c=k2 y2 [b]表示以ab,c为棱的平行六面体积 y

水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 [ ] ( ) 333 222 111 ,, zyx zyx zyx cbacba =⋅×= [ cba ] ,, 表示以 为棱的平行六面体积。 ,, cba 13