西北工业大学：《数值分析》课程教学资源（课件讲稿，工科研究生）第二章 函数插值

第二章函数插值 ☆问题提出 1函数表达式过于复杂不便于计算,而又需要计算许多 点处的函数值 2仅有采样值,而又需要知道非采样点处的函数值 上述问题的一种解决思路:建立复杂函数或者未知函数的 个便于计算的近似表达式 2004-9-9

2004-9-9 1 第二章 函数插值 ™问题提出 1 函数表达式过于复杂不便于计算, 而又需要计算许多 点处的函数值 2 仅有采样值, 而又需要知道非采样点处的函数值 …… 上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或者未知函数的 一个便于计算的近似表达式

内容提要 ■插值问题 ■插值多项式的构造方法 ■分段插值法 2004-99 2

2004-9-9 2 内容提要 „ 插值问题 „ 插值多项式的构造方法 „ 分段插值法

插值问题 1.定义 已知定义于[a,b上的函数f(x)在n+1个互异节点 x∈[ab处的函数值{(x) 若函数族Φ中的函数o(x)满足条件 0(x,)=f(x),i=01,…,n 则称(x)为f(x)在中关于节点{x的一个插值函数。 ∫(x)一一被插值函数;[a,b一一插值区间; x}——插值节点;式(1)——插值条件 2004-99

2004-9-9 3 一、插值问题 1. 定义 已知定义于 [a, b] 上的函数 f (x) 在 n +1 个互异节点 { } [ , ] 0 x a b n i i= ⊂ 处的函数值{ }n i i f x 0 ( ) = . 若函数族Φ中的函数ϕ(x) 满足条件 x f x i n i i ϕ( ) = ( ), = 0,1,L, （1） 则称ϕ(x) 为 f (x) 在Φ中关于节点{ }n i i x =0的一个插值函数。 f (x) ——被插值函数； [a, b]——插值区间； { }n i i x =0——插值节点； 式（1）——插值条件

2.几何意义、内插法、外插法 M= maxXijiso 内插 外插 m=min(xi) x∈[m,M] x∈[a,b]btx还[m,M门 2004-99

2004-9-9 4 2 . 几何意义、内插法、外插法 n M xi i 0 max{ } ~ = = 内插 外插 n m xi i 0 min{ } ~ = = ] ~ , ~ ] x∈[a, b] but x∉[m M ~ , ~ x∈[m M

3.多项式插值问题 ■对于不同的函数族Φ的选择,得到不同的插值 问题 当Φ为一些三角函数的多项式集合时:三角插值; 当Φ为一些有理分式集合时:有理插值; 当Φ为一些多项式集合时:多项式插值 特别的取中= P=span(x,x2…,x”,即 n={(x)0(x)=a+a1x+a2x2+…+anx",a1∈R,0≤t≤n 2004-99

2004-9-9 5 3. 多项式插值问题 „ 对于不同的函数族Φ的选择，得到不同的插值 问题 „ 当Φ为一些三角函数的多项式集合时:三角插值; „ 当Φ为一些有理分式集合时：有理插值； „ 当Φ为一些多项式集合时：多项式插值 特别的取 Φ = { }n n span 1, x, x , , x 2 L ∆ P = , 即 { } x x a a x a x a x ai R i n n n = ϕ( ) ϕ( ) = + + + + n , ∈ , 0 ≤ ≤ 2 P 0 1 2 L

4.存在惟一性 分析对于多项式插值问题,插值条件(1)等价于确 定多项式的系数,使得满足如下的线性方程组 f(x, x f(xn) 定理1(存在惟一性)满足插值条件(1)的不超过n次的 插值多项式是存在惟一的 2004-99

2004-9-9 6 4 . 存在惟一性 „ 分析 对于多项式插值问题，插值条件（1）等价于确 定多项式的系数，使得满足如下的线性方程组   =    ( ) ( ) ( ) ( ) 111 210 210 2 1 2 1 1 0 2 0 0 n n n n n nnn f x f x f x f x aaaa x x x x x x x x x M M L L L L L L LL • 定理1(存在惟一性) 满足插值条件(1)的不超过n次的 插值多项式是存在惟一的

5.误差估计 引理已知函数f(x)在[ab上具有m-1阶连续导函数,且在 (ab)上存在m阶导数。若它在该区间上有m+1个零点, 则它的m阶导函数在(a,b)内至少存在一个零点 f(xxo x,x2 f(x)505 f"(x)7 插值余项:R2(x)=f(x)-0(x) 2004-99 7

2004-9-9 7 5. 误差估计 „ 引理 已知函数f(x)在[a,b]上具有m-1阶连续导函数，且在 （a,b）上存在m阶导数。 若它在该区间上有m+1个零点， 则它的m阶导函数在(a,b)内至少存在一个零点。 ξ η η η ξ ξ ξ ξ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 3 2 0 1 2 1 0 1 2 1 f x f x f x f x x x x x x m m m m m m m L L L L L − − − − − ′′ ′ z 插值余项： R (x) f (x) (x) n = −ϕ ∆

误差估计(续1) 分析:R(x)=f(x,)-(x,)=0,i=0,2 =R(x)=f(x)-p(x)=k(xon+(x) On(x)=(x-xo(x-x,) . (x-xu 当x为某一插值节点时,对函数k(x)无约束; 当点x与插值节点{x1=0互不相同时,构造以t为新自变量的函数 g(1)=f(1)-0()-k(x)On1() g()在区间[a,b]上的n+2个互异零点:x、{x10 当g(1)充分光滑时,g(1)在开区间(a,b)内至少存在一个零点5 (n+1) ()=fm(t)-(n+1)k(x) (n+1 k(x) ( (n+1 ()=0 n+1) 2004-99

2004-9-9 8 误差估计(续1) „ 分析：R x f x x i n i i i ( ) = ( ) −ϕ( ) = 0, = 0,1,2,L, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) n 1 n 1 0 1 n ⇒ R x = f x − x = k x x x = x − x x − x x − x ∆ ϕ ω + ω + L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 g t f t t k x t = −ϕ − ω n+ 当 x 为某一插值节点时, 对函数k(x) 无约束； 当点 x 与插值节点 n i i x 0 { } = 互不相同时，构造以 t 为新自变量的函数 g(t) 在区间[a, b] 上的 n + 2 个互异零点： x 、 n i i x 0 { } = 当 g(t)充分光滑时， ( ) ( 1) g t n+ 在开区间(a, b) 内至少存在一个零点ξ ( 1)! ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) + ⇒ =   == − + + ++ + nf k x gg t f t n k x n nn n ξ ξ

误差估计(续2) 定理2(误差估计)设∫"(x)在[ab]上连续,f()在 a,b)内存在.(x)是满足插值条件(1)的不超过n次的插值 多项式则对任意x∈[a,b,存在5=5(x)∈(a,b),使得 Rn(x)=f(x)-0(x)= f(() ox n 成立,式中On1(x)=(x-x) 进而当f1(x在区间(b)有上界M时,有 M Rn(x)≤ (n+1) On+(x) 2004-99

2004-9-9 9 误差估计(续2) 定理 2 (误差估计) 设 ( ) ( ) f x n 在 [a, b] 上连续, ( ) ( 1) f x n+ 在 (a, b) 内存在. ϕ ( x) 是满足插值条件(1)的不超过 n 次的插值 多项式. 则对任意 x ∈ [a, b], 存在ξ = ξ (x) ∈ (a, b) , 使得 ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) x nf R x f x x n n n + ++ = − = ω ξ ϕ 成立, 式中 ( ) ( ) 0 1 i n i n x = Π x − x = ω + . 进而当 ( ) ( 1) f x n + 在区间 (a, b) 有上界 M n+1时, 有 ( ) ( 1)! ( ) 1 1 x nM R x n n n + + ω + ≤

Remark > Remark 1插值误差与节点{x和点x之间的距离有关, 节点距离x越近插值误差一般情况下越小 Remark2若被插值函数f(x)本身就是不超过n次的多项 式,则有f(x)≡(x) Remark3可以通过求解线性方程组得到插值多项式 2004-99

2004-9-9 10 Remark ¾ Remark1 插值误差与节点{ }n i i x =0 和点 x 之间的距离有关, 节点距离 x 越近,插值误差一般情况下越小. ¾ Remark2 若被插值函数 f (x) 本身就是不超过n 次的多项 式, 则有 f (x) ≡ ϕ(x) . ¾Remark3 可以通过求解线性方程组得到插值多项式