西北工业大学：《数值分析》课程教学资源（课件讲稿，工科研究生）第一章 绪论（主讲：王振海）

工科研究生公共课程数学系列之 《数值分析》 教师:王振海 2004-10-25 Zhang@nwpu.edu.cn

2004-10-25 zhwang@nwpu.edu.cn 1 工科研究生公共课程数学系列之 《数值分析》 教师：王振海

教材 封建湖,车刚明,聂玉峰,数值分析原理, 科学出版社,2001 参考书 1、车刚明,聂玉峰,封建湖,欧阳洁,数值 分析典型题解析及自测试题,西北工业大学出 版社,2002 2、封建湖,车刚明,计算方法典型题分析解 集(第二版),西北工业大学出版社,2001 3、封建湖,聂玉峰,王振海,数值分析导教 导学导考,西北工业大学出版社,2003 2004-10-25 Zhang@nwpu.edu.cn 2

2004-10-25 zhwang@nwpu.edu.cn 2 „教材 „封建湖，车刚明，聂玉峰，数值分析原理 ， 科学出版社，2001 „参考书 „ 1、车刚明，聂玉峰，封建湖，欧阳洁，数值 分析典型题解析及自测试题，西北工业大学出 版社，2002 „ 2、封建湖，车刚明，计算方法典型题分析解 集（第二版），西北工业大学出版社，2001 „ 3、封建湖，聂玉峰，王振海，数值分析导教 导学导考，西北工业大学出版社，2003

第 绪论 ■内容提要 1算法的概念、可靠性以及优劣评判 2误差的度量以及传播 3算法设计应注意的问题 2004-10-25 Zhang@nwpu.edu.cn

2004-10-25 zhwang@nwpu.edu.cn 3 第一章 绪 论 „ 内容提要 1 算法的概念、可靠性以及优劣评判 2 误差的度量以及传播 3 算法设计应注意的问题

科学与工程计算过程 ■提出实际问题 ■提出数值问题 辨析其中的主要矛盾和次要矛 盾,并在合理假设的条件下 数值问题是指有限个输入数据 用各种数学理论、工具和方法, (问题的自变量、原始数据)与 建立起问题中不同量之间的联系, 有限个输出数据(待求解数据) 即得到数学模型。 之间函数关系的一个明确无歧义 的描述。这正是数值分析所研究 的对象。 建立数学模型 数学模型解的存在性(模型内 部没有蕴含矛盾)、惟一性(模 型是完备的)以及对相关数据的 连续依赖性统称为模型的适定性。 2004-10-25 Zhang@nwpu.edu.cn

2004-10-25 zhwang@nwpu.edu.cn 4 一、科学与工程计算过程 „ 提出实际问题 辨析其中的主要矛盾和次要矛 盾，并在合理假设的条件下，运 用各种数学理论、工具和方法， 建立起问题中不同量之间的联系 ， 即得到数学模型。 • 建立数学模型 数学模型解的存在性（模型内 部没有蕴含矛盾）、惟一性（模 型是完备的 )以及对相关数据的 连续依赖性统称为模型的适定性。 „ 提出数值问题 数值问题是指有限个输入数据 （问题的自变量、原始数据）与 有限个输出数据（待求解数据） 之间函数关系的一个明确无歧义 的描述。这正是数值分析所研究 的对象

数值问题举例 =x+yx∈[0,1 dx v(0)= 是用一阶常微分方程初值问题表示的数学模 型,要求无穷多个输出,因而它不是数值问 题。但当我们要求出有限个点处函数值的近 似值时,便成为一数值问题。 2004-10-25 Zhang@nwpu.edu.cn

2004-10-25 zhwang@nwpu.edu.cn 5 数值问题举例     = = + ∈ 0 2 0 0 1 y y x y x dx dy ( ) [ , ] 是用一阶常微分方程初值问题表示的数学模 型，要求无穷多个输出，因而它不是数值问 题 。但当我们要求出有限个点处函数值的近 似值时，便成为一数值问题

科学与工程计算过程(续) ■设计高效可靠的算法 分类方法1:若算法包含 数值分析的任务之一就是 有一个进程则称其为串行算法, 提供求得数值问题近似解的方法一 否则为并行算法。 算法。 分类方法2:从算法执行所 概念:从程序设计的角度 花费的时间角度来讲,若算术运 来讲,所谓算法是由一个或多个 算占绝大多数时间则称其为数值 进程组成;每个进程明确无歧义 型算法,否则为非数值型算法 地描述由操作及操作对象合成的 按一定顺序执行的有限序列;所 本课程介绍数值型串行算 有进程能够同时执行并且协调地 法。(其它类型算法参阅数据结 在有限个操作步内完成一个给定 构、并行算法等课程) 问题的求解。这里操作可以是计 算机能够完成的算术运算(加减 乘除)、逻辑运算、字符运算等 2004-10-25 Zhang@nwpu.edu.cn 6

2004-10-25 zhwang@nwpu.edu.cn 6 科学与工程计算过程（续） 分类方法 1：若算法包含 有一个进程则称其为串行算法， 否则为并行算法。 分类方法 2：从算法执行所 花费的时间角度来讲，若算术运 算占绝大多数时间则称其为数值 型算法，否则为非数值型算法。 本课程介绍数值型串行算 法。（其它类型算法参阅数据结 构、并行算法等课程） „ 设计高效可靠的算法 数值分析的任务之一就是 提供求得数值问题近似解的方法 — 算法。 概念：从程序设计的角度 来讲，所谓算法是由一个或多个 进程组成；每个进程明确无歧义 地描述由操作及操作对象合成的 按一定顺序执行的有限序列；所 有进程能够同时执行并且协调地 在有限个操作步内完成一个给定 问题的求解。这里操作可以是计 算机能够完成的算术运算（加减 乘除）、逻辑运算、字符运算等

设计高效可靠的算法(续1) 优劣评价:可靠算法 可靠性:所谓算 的优劣,应该考虑其时 法的可靠性包括如下几 间复杂度(计算机运行 个方面:算法的收敛性、时间)、空间复杂度 稳定性、误差估计等。 占据计算机存储空间 这些是数值分析研究的的多少)以及逻辑复杂 第二个任务 度(影响程序开发的周 个算法在保证 期以及维护)。这是数 可靠的大前提下再评价值分析研究的第三个任 其优劣才是有价值的。 务 2004-10-25 Zhang@nwpu.edu.cn

2004-10-25 zhwang@nwpu.edu.cn 7 设计高效可靠的算法（续 1 ） 优劣评价：可靠算法 的优劣，应该考虑其 时 间复杂度（计算机运行 时间）、 空间复杂度 （占据计算机存储空间 的多少）以及逻辑复杂 度（影响程序开发的周 期以及维护）。这是数 值分析研究的第三个任 务 。 可靠性：所谓算 法的可靠性包括如下几 个方面：算法的收敛性、 稳定性、误差估计等。 这些是数值分析研究的 第二个任务 。 一个算法在保证 可靠的大前提下再评价 其优劣才是有价值的

设计高效可靠的算法(续2) 鉴于实际问题的复杂性,通常将其具体地 分解为一系列子问题进行研究,本课程主要涉 及如下几个方面问题的求解算法 >函数的插值和逼近 >数值积分和数值微分 线性方程组求解、非线性方程(组)求解 代数特征值问题 常微分方程数值解。 2004-10-25 Zhang@nwpu.edu.cn 8

2004-10-25 zhwang@nwpu.edu.cn 8 设计高效可靠的算法（续 2 ） 鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体 地 分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉 及如下几个方面问题的求解算法： ¾ 函数的插值和逼近 ¾ 数值积分和数值微分 ¾ 线性方程组求解、非线性方程（组）求解 ¾ 代数特征值问题 ¾ 常微分方程数值解

算法应用状态 数值分析研究对象以及解决问题方法的 泛适用性,著名流行软件如 Maple、 Matlab、 Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函 数,简单调用之后便可以得到运行结果。 但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选 择、设计适合于自己特定问题的算法,因而掌 握数值方法的思想和内容是至关重要的。 2004-10-25 Zhang@nwpu.edu.cn

2004-10-25 zhwang@nwpu.edu.cn 9 算法应用状态 数值分析研究对象以及解决问题方法的 广泛适用性，著名流行软件如Maple 、Matlab 、 Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函 数，简单调用之后便可以得到运行结果。 但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选 择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌 握数值方法的思想和内容是至关重要的

本课程的学习方法 尽管本课程所讲算法是很有限的,但许多初学可能仍会觉得 公式多,理论分析复杂。在此,我们提出如下的几点学习方 法,仅供初学者参考。 1、认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务, 主动适应公式多和讲究理论分析的特点 2、注重各章节所硏究算法的提出,搞清楚问题的基本提法、 逐步深入的层次及提法的正确性, 3、理解每个算法建立的数学背景、数学原理和基本线索, 而且对一些最基本的算法要非常熟悉。 4、从各种算法的理论分析中学习推理证明方法,提高推理 证明能力。 5、认真进行数值计算的训练。 2004-10-25 Zhang@nwpu.edu.cn 10

2004-10-25 zhwang@nwpu.edu.cn 10 本课程的学习方法 „ 尽管本课程所讲算法是很有限的，但许多初学可能仍会觉得 公式多，理论分析复杂。在此，我们提出如下的几点学习方 法，仅供初学者参考。 „ 1、认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务， 主动适应公式多和讲究理论分析的特点。 „ 2、注重各章节所研究算法的提出，搞清楚问题的基本提法、 逐步深入的层次及提法的正确性。 „ 3、理解每个算法建立的数学背景、数学原理和基本线索， 而且对一些最基本的算法要非常熟悉。 „ 4、从各种算法的理论分析中学习推理证明方法，提高推理 证明能力。 „ 5、认真进行数值计算的训练