北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第一章 代数学的经典课题

第一学期第一次课 第一章代数学的经典课题 §1若干准备知识 11.1代数系统的概念 个集合,如果在它里面存在一种或若干种代数运算,这些运算满足一定的运算法则 则称这样的一个体系为一个代数系统 11.2数域的定义 定义(数域)设K是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数 且K对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的,即对K内任意两个数a、b(a可以等 于b),必有a±b∈K,wb∈K,且当b≠O时,a/b∈K,则称K为一个数域 例L.1典型的数域举例:复数域C:实数域R:有理数域Q; Gauss数域:Q(i)={a+bj la,b∈Q},其中 命题任意数域K都包括有理数域Q 证明设K为任意一个数域。由定义可知,存在一个元素a∈K,且a≠0。于是 0=a-a∈K,1=-∈K 进而Vm∈Z m=1+1+.+1∈K。 最后,Ymn∈Z,"∈K,-"=0-"∈K。这就证明了QK。证毕。 113集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义(集合的交、并、差)设S是集合,A与B的公共元素所组成的集合成为A与B的 交集,记作A∩B;把A和B中的元素合并在一起组成的集合成为A与B的并集,记做 A∪B:从集合A中去掉属于B的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A与B的差集, 记做A\B 定义(集合的映射)设A、B为集合。如果存在法则∫,使得A中任意元素a在法则 ∫下对应B中唯一确定的元素(记做f(a)),则称∫是A到B的一个映射,记为 f∫:A→B, ab ( 如果f(a)=b∈B,则b称为a在∫下的像,a称为b在∫下的原像。A的所有元素 在∫下的像构成的B的子集称为A在∫下的像,记做f(4),即f(4)={f(a)a∈

第一学期第一次课 第一章 代数学的经典课题 §1 若干准备知识 1.1.1 代数系统的概念 一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则， 则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义 定义（数域） 设 K 是某些复数所组成的集合。如果 K 中至少包含两个不同的复数， 且 K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对 K 内任意两个数 a 、b （ a 可以等 于 b ），必有 a bK，abK，且当b  0时，a/bK ，则称 K 为一个数域。 例 1.1 典型的数域举例： 复数域 C；实数域 R；有理数域 Q；Gauss 数域：Q (i) = { a + b i | a,b ∈Q}，其中 i = −1 。 命题 任意数域 K 都包括有理数域 Q。 证明 设 K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素 a  K，且a  0 。于是 K a a 0 = a − a  K， 1 =  。 进而 m Z 0 , m =1+1++1K 。 最后， m,n  Z 0 ， K n m  ， K n m n m − = 0 −  。这就证明了 Q  K 。证毕。 1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念 定义(集合的交、并、差) 设 S 是集合， A 与 B 的公共元素所组成的集合成为 A 与 B 的 交集，记作 A  B ；把 A 和 B 中的元素合并在一起组成的集合成为 A 与 B 的并集，记做 A  B ；从集合 A 中去掉属于 B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为 A 与B的差集， 记做 A\ B。 定义（集合的映射） 设 A 、 B 为集合。如果存在法则 f ，使得 A 中任意元素 a 在法则 f 下对应 B 中唯一确定的元素（记做 f (a) ），则称 f 是 A 到 B 的一个映射，记为 ( ). : , a f a f A B  → 如果 f (a) = b  B ，则 b 称为 a 在 f 下的像，a 称为 b 在 f 下的原像。 A 的所有元素 在 f 下的像构成的 B 的子集称为 A 在 f 下的像，记做 f (A) ，即 f (A) = f (a)| a A

若va≠a'∈A,都有f(a)≠f(a),则称∫为单射。若Vb∈B,都存在a∈A,使得 f(a)=b,则称∫为满射。如果∫既是单射又是满射,则称∫为双射,或称一一对应 11.4求和号与求积号 1.求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域K上n个数a12a2,…,an,我们使用如下记号: a ai 当然也可以写成 a,+ a I<isn 2.求和号的性质.容易证明, ∑(a+b)=∑a+∑b ∑∑a=∑∑a 事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状: 分别先按行和列求和,再求总和即可

若 a  a' A, 都有 f (a)  f (a'), 则称 f 为单射。若 b  B, 都存在 a A ，使得 f (a) = b ，则称 f 为满射。如果 f 既是单射又是满射，则称 f 为双射，或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号 1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域 K 上 n 个数 a a an , , , 1 2  ，我们使用如下记号： = + + + = n i a a an ai 1 1 2  , = = n i a a an ai 1 1 2  . 当然也可以写成    + + + = i n a a an ai 1 1 2 ...... ,    = i n a a an ai 1 1 2 ...... . 2. 求和号的性质. 容易证明，   = = = n i n i ai ai 1 1      = = = + = + n i n i n i ai bi ai bi 1 1 1 ( )   = = = = = n i m j n i ij m j aij a 1 1 1 1 事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状： n n nm m m a a a a a a a a a ...... ...... ...... ...... ...... ...... 1 2 21 22 2 11 12 1 分别先按行和列求和，再求总和即可