东北大学：《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第一章 复变函数与解析函数

复变数与积分变换 第一章复变函数与解析函数 §1.1复数 §1.2平面点集 §1.3连续函数 §1.4解析函数 §1.5函数可导的充要条件 §1.6初等解析函数

复变函数与积分变换及应用背景 复变数与 M. Kline(《古今数学思想》 Mathematical Thought from Ancient to Modern times)的作 积者,美国数学史家)指出:从技术观点来看,十 分九世纪最独特的创造是单复变函数的理论这个 或新的数学分支统治了十九世纪,几乎象微积分的 换直接扩展统治了十八世纪那样这一丰饶的数学 分支,一直被称为这个世纪的数学享受.它也被欢 呼为抽象科学中最和谐的理论之

复变函数与积分变换及应用背景 (《古今数学思想》(Mathematical Thought from Ancient to Modern Times)的作 者, 美国数学史家) 指出: 从技术观点来看,十 九世纪最独特的创造是单复变函数的理论.这个 新的数学分支统治了十九世纪,几乎象微积分的 直接扩展统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学 分支,一直被称为这个世纪的数学享受.它也被欢 呼为抽象科学中最和谐的理论之一

复『(1)代数方程x2+1=0在实数范围内无解 变函 为了建立代数方程的普遍理论,人们引入复数 刻的概念,从而建立了复变函数理论Gas应用复变 与函数理论证明了基本定, 积 分(2)复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函 变数的积分.J. Hadamard说:实域中两个真理之间 换最短路程是通过复的 (3)复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动 等问题的研究

的概念, 从而建立了复变函数理论. 为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数 (2) 复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函 数的积分. (1) 代数方程 在实数范围内无解. 2 x  1  0 说: 实域中两个真理之间 的 最短路程是通过复域. (3) 复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动 等问题的研究. 函数理论证明了 应用复变

(4)应用于计算绕流问题中的压力和力矩等 复变函数与积分变一 最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算, 从而研究机翼的造型问题 分(5)应用于计算渗流间题 例如:大坝、钻井的浸润曲线 换 (6)应用于平面热传导问题、电(磁)场强度 例如:热炉中温度的计算

(4) 应用于计算绕流问题中的压力和力矩等. (5) 应用于计算渗流问题. 例如：大坝、钻井的浸润曲线. (6) 应用于平面热传导问题、电(磁)场强度. 例如：热炉中温度的计算. 最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算, 从而研究机翼的造型问题

复(8)复变函数理论也是积分变换的重要基础 变数与 积分变换在许多领域被广泛地应用,如电力 工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理 和和其他许多数学、物理和工程技术领域 分(9) Fourier变换应用于频谱分析和信号处理等 变换 频谱分析是对各次诸波的频率、振幅、相位之 间的关系进行分析.随着计算机的发展,语音、图 象等作为信号,在频域中的处理要方便得多

变换应用于频谱分析和信号处理等. (8) 复变函数理论也是积分变换的重要基础. 积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力 工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理 和其他许多数学、物理和工程技术领域． 频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之 间的关系进行分析. 随着计算机的发展，语音、图 象等作为信号，在频域中的处理要方便得多. (9)

复(10) Laplace变换应用于控制问题 变数与 在控制问题中,传递函数是输入量的 Laplace 数变换与输出量的 Laplace变换之比 利(1)Z变换应用于离散控制系统 安/(12)小波分析的应用领域十分广泛如信号分析和 换图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断 地质勘探与地震预报等等. (13)复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和 工程计算设计的软件 MATLAB

变换应用于控制问题. 在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace 变换与输出量的Laplace变换之比. (11) Z变换应用于离散控制系统. (12) 小波分析的应用领域十分广泛, 如信号分析和 图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、 地质勘探与地震预报等等. (13) 复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和 工程计算设计的软件 (10)

复变数与积 主要内容 本章首先引入复数的概念及其运算、 平面点集的概念然后讨论复变函数的连 变 性,重点研究解析函数最后介绍几个 基本的初等解析函数

本章首先引入复数的概念及其运算、 平面点集的概念.然后讨论复变函数的连 续性，重点研究解析函数.最后介绍几个 基本的初等解析函数

复变函数与积兮变换 §1.1复数 1复数的概念 2复数的四则运算 3复数的表示方法 4乘幂与方根

§1.1 复 数 1 复数的概念 2 复数的四则运算 3 复数的表示方法 4 乘幂与方根

1.1.1复数的概念 复变数与 由于解代数方程的需要,们引进了复数 例如,简单的代数方程 x2+1=0 私在实数范围内无解为了建立代数方程的普遍 变理论,引入等式 换 由该等式所定义的数称虚数单位

1.1.1 复数的概念 由于解代数方程的需要, 人们引进了复数. 例如，简单的代数方程 2 x  1  0 在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍 理论，引入等式 2 i  1. 由该等式所定义的数称为 i  1

称形如x+或xyi的表达式为复数,其中 复变数与积 x和y是任意两个实数把这里的x和y分别称为复 数数x+(或x+y)的实部和虚部,并记做 x=Re,y=Im乙 当复数的虚部为零、实部不为零即y=0,x≠0) 变时,复数x+j等于x+0为实数x,而虚部不为零即 换 y≠0)的复数称为虚数在虚数中,实部为零(即x=0, y≠0称为纯虚数例如,3+0÷=3是实数,45,-3i都 ③是虚数,而3是纯虚数

x  Re z, y  Im z. 当复数的虚部为零、实部不为零(即 y=0, ) 时，复数 x+iy 等于 x+i0 为实数 x ,而虚部不为零(即 )的复数称为虚数. 在虚数中, 实部为零(即x=0, )的称为纯虚数. 例如, 3+0i=3是实数, 4+5i, -3i都 是虚数, 而-3i是纯虚数. x  0 y  0 y  0 数 x+iy (或 x+yi )的 , 并记做 称形如 x+iy 或 x+yi 的表达式为复数，其中 x和y是任意两个实数. 把这里的x和y分别称为复