《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）6.1.2 定积分的概念

§12定积分的概念 分割、近似求和、取极限

§1.2 定积分的概念 分割、近似求和、取极限

定积分的定义 设函数f(x)在a,b上有界用点a=x0 x1x2…xn1xn=b将[a,6分割成n个 子区间,各子区间的长度为△x=x1 i=1,2,,n).在每个子区间上任取一点 (5Ax,作乘积的和式∑f(5)△x 记=mx△x,当0时,∑f()r 的极限存在,并且其极限值与a,b的分法

设函数f(x)在[a,b]上有界,用点a=x0 <x1<x2< ...<xn−1<xn =b将[a,b]分割成n个 子区间, 各子区间的长度为 xi=xi−xi−1 (i=1,2,...,n).在每个子区间上任取一点i (ixi ),作乘积f(i )xi的和式 =  n i i xi f 1 ( ) 定积分的定义 记=max{xi },当→0时, =  n i i xi f 1 ( ) 的极限存在,并且其极限值与[a,b]的分法

以及券取法无关,则该极限值称为函数 fx)在区间a上的定积分记作f(x 积分上限 即 f(xx=似 li ∑f(5)Ax 被积 积分 函表变分元 改达量 素 积分下限」式1a2积分区间

以及i的取法无关,则该极限值称为函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作 f x dx b a ( ) 即 积 分 号 被 积 函 数 被 积 表 达 式 积 分 变 量 [a,b]:积分区间 积 分 元 素 积 分 和 积分上限 积分下限  = → =  n i i i b a f x dx f x 1 0 ( ) lim ( ) 

注意 (1)积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的字母无关 f( dx= f(txt=f(udu (2)定义中区间的分法和的取法是任意的 (3)当函数x)在区间|a,上的定积分存在 时称f(x)在区间(,b上可积否则不可积

注意: (1)积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的字母无关 f x dx b a ( ) f t dt b a = ( ) f u du b a = ( ) (2)定义中区间的分法和i的取法是任意的 (3)当函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在 时,称f(x)在区间[a,b]上可积,否则不可积

定积分的几何意义 f(x)>0,Jf(x)=S曲边梯形的面积 )<0,,f(xM=-S曲边梯形的面积 的负值 f(rx= s-s,+S,-S

定积分的几何意义 f(x)>0, f x dx S b a =  ( ) 曲边梯形的面积 f(x)<0, f x dx S b a = −  ( ) 曲边梯形的面积 的负值 x y S1 S2 S3 S4 1 2 3 4 f (x)dx S S S S b a = − + − 

几何意义 它是介于x轴、函数(x)的图形及其 两条直线x=a,x=b之间的各部分面积的 代数和在x轴上方的面积取正号;在x轴 下方的面积取负号

+ + − − 几何意义: 它是介于x轴、函数f(x)的图形及其 两条直线 x=a, x=b之间的各部分面积的 代数和. 在x轴上方的面积取正号;在x轴 下方的面积取负号

例1利用定义计算定积分,x2ax 解:将[0,1n等分 分点为:x1=(=1 99···9 子区间[x21,x的长度Ax2=1(=1,2,,n) 取2=x;,(i=1,2,…,n) ∑(5x=点△=Ex2A i=1 =∑(1=1?=1mn+12n+

例1 利用定义计算定积分 x dx  1 0 2 解: 将[0,1]n等分 分点为: n i xi = (i=1,2,...,n) 子区间[xi−1 , xi ]的长度 n xi 1  = (i=1,2,...,n) 取i=xi , (i=1,2,...,n) =  n i i xi f 1 ( ) = =  n i i i x 1 2  = =  n i xi xi 1 2 = = n i n n i 1 2 1 ( ) = = n i i n 1 2 3 1 6 1 ( 1)(2 1) 3 + + =  n n n n

=(1+)(2+1) gxdx=lim∑52△x(→0=n>) i=1 =im1(1+1)(2+1 3

) 1 )(2 1 (1 6 1 n n = + + x dx (→0n→)  1 0 2 = → =  n i i xi 1 2 0 lim   ) 1 )(2 1 (1 6 1 lim n n n = + + → 3 1 =

s13求定积分过程中的辩证思维 s14可积条件 定理1(可积的必要条件)若函数f(x)在 a,b上可积,则f(x)在a,上有界 有:无界函数一定不可积 有界函数不一定可积

§1.3 求定积分过程中的辩证思维 §1.4 可积条件 定理1(可积的必要条件) 若函数f(x)在 [a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界 有: 无界函数一定不可积 有界函数不一定可积

定理2(可积的充分条件)若八x)是闭区间 a,b上的连续函数或者是闭区间[a,1上 的单调函数或者是[a,6上只有有限个间 断点的有界函数则x)在[a,b上可积

定理2(可积的充分条件) 若f(x)是闭区间 [a,b]上的连续函数,或者是闭区间[a,b]上 的单调函数,或者是[a,b]上只有有限个间 断点的有界函数,则f(x)在[a,b]上可积