《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）5.1.1 微分的逆运算问题——不定积分（原函数与不定积分的概念）

第五章微分的逆运算问题 不定积分 s1逆向思维又一例 原函数与不定积分 §11原函数与不定积分的概念

第五章 微分的逆运算问题 ——不定积分 §1 逆向思维又一例 ——原函数与不定积分 §1.1 原函数与不定积分的概念

原函数的概念 定义:设函数F(x)与fx)在区间/上有定 义.若在l上F'(x)=f(x),则称函数F(x)为 fx)在区间/上的一个原函数 例如: (sinx)=cosx→sinx是cosx的原函数 (x>0) →lnx是1在区间(0,+0)内的原函数

原函数的概念 定义: 设函数F(x)与f(x)在区间I上有定 义. 若在I上F (x)=f(x) ,则称函数F(x)为 f(x)在区间I上的一个原函数 例如: (sinx)=cosxsinx是cosx的原函数 ( 0) 1 (ln ) = x  x x lnx是 x 1 在区间(0,+)内的原函数

原函数存在定理 若函数x)在区间上连续,则(x)在 存在原函数F(x) 问题:(1)原函数是否唯-? (2)若不唯一,它们之间有什么联系? 例如 (Sinx)'=cosx (sinx+C)y=cosx(C为任意常数)

原函数存在定理: 若函数f(x)在区间I上连续,则f(x)在 I上存在原函数F(x) 问题: (1)原函数是否唯一? 例如: (sinx)=cosx (sinx+C)=cosx (C为任意常数) (2)若不唯一,它们之间有什么联系?

定理:设F(x)是f(x)的区间/上的一个原 函数则:()Fx)+C也是f(x)的一个原函 数,其中C为任意常数 (2)f(x)任意两个原函数之间, 相差一个常数 证(2)[F(x)-G(x)=F'(x)-G'(x) f(x)-f(x)=0 →F(x)-G(x)=CC为任意常数) 这一定理揭示了全体原函数的结构

设F(x)是f(x)的区间I上的一个原 函数,则: (1)F(x)+C也是f(x)的一个原函 数,其中C为任意常数 (2)f(x)的任意两个原函数之间, 相差一个常数 定理: [证(2)] [F(x)−G(x)]=F (x)−G (x) =f(x)−f(x)=0 F(x)−G(x)=C (C为任意常数) 这一定理揭示了全体原函数的结构

不定积分的定义 fx)在区间/上的全体原函数为fx) 在/上的不定积分记作f(x)dx (x)=F(x)+C 积被被积 分积积分 号函表变 数达量 积分常数 式 A: l f(x dx]=[F(x)+c=f(x)

f x dx = F x +C  ( ) ( ) 不定积分的定义 f(x)在区间I上的全体原函数为f(x) 在I上的不定积分,记作  f (x)dx 积 分 号 被 积 函 数 被 积 表 达 式 积 分 变 量 积 分 常 数 [ f (x)dx] = [F(x)+C] = f (x) 有  :

例1求x:x 解:(x) 5 6 +c 6

例1 求  x dx 5 解: 5 6 ) 6 ( x x   = C x  x dx = +  6 6 5

不定积分的几何意义 函数x)的原函数的图形称为(x)的 积分曲线 显然,求不定积分得到一积分曲线族 它可由fx)的某一条积y 分曲线yF(x)沿y轴方 向上下平移而得到 曲线中每一条积分曲 线横坐标相同点处的 切线相互平行

不定积分的几何意义 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的 积分曲线 显然,求不定积分得到一积分曲线族. 它可由f(x)的某一条积 分曲线 y=F(x)沿y轴方 向上下平移而得到 o x y 曲线中每一条积分曲 线横坐标相同点处的 切线相互平行

例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点 处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线方程 解:设所求曲线为=fx 由题意知,y=2x 即八x)是2x的一个原函数 2xx=x2+C→(x)=x2+C 曲线通过点(1,2)→C=1 所求曲线为y=x2+1

例3 设曲线通过点(1, 2),且其上任一点 处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线方程 解:设所求曲线为y=f(x) 由题意知, y=2x 即f(x)是2x的一个原函数  2xdx =x 2+C f(x)=x 2+C 曲线通过点(1, 2)C=1 所求曲线为y=x 2+1