《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）3.习题课

§3习题课 、主要内容 例题

§3 习题课 一、主要内容 二、例题

、主要内容 (一)导数 ◎(二)微分

（一）导数 （二）微分 一、主要内容

导数的定义设函数y=fx)在点x的某一邻 域内有定义,当自变量x在点x处有增量△x (点x0+△x仍在该邻域内)时,相应地函数有 增量Δy=f(x+△x)-fx,如果 lim Ay= lim f(o+Ax)-f(xo) △x→>0△xAx→>0 △ 存在,则称该极限值为fx)在点x0处的导数, 或“Cx 记作f(m或yx=或 dxexo dx I=xn

设函数y=f(x)在点x0的某一邻 域内有定义, 当自变量x在点x0处有增量x (点x0+x仍在该邻域内)时, 相应地函数有 增量y=f(x0+x)−f(x0 ), 如果 导数的定义 存在,则称该极限值为f(x)在点x0处的导数, 记作f (x0 ),或 0 x x y =  x f x x f x x y x x  +  − =    →  → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 或 0 x x dx dy = 或 0 ( ) x x dx df x =

导数的意义 物理意义:变速直线运动物体的瞬时速度 瞬时速度是路程对时间的导数,即 v(t)=lim △ ds S △→>0△t 几何意义:曲线=f(x)在点x0处的切线斜率 y=f(r) t tana=f(x)=ay x

导数的意义 物理意义:变速直线运动物体的瞬时速度 瞬时速度是路程对时间的导数,即 dt ds s t s v t t =  =   =  →0 ( ) lim 几何意义:曲线y=f(x)在点x0处的切线斜率 dx dy tan = f (x) = o x y y = f (x) T 0 x M 

由定义求导数 步骤: (1)求增量△y=f(x+△x)-fx) Δyf(x+△x)-∫( (2)求比值= △x △x (3)求极限y=mimA △x→>0△v

步骤: (1)求增量 y=f(x+x)−f(x) (2)求比值 x f x x f x x y  +  − =   ( ) ( ) (3)求极限 x y y x    =  →0 lim 由定义求导数

单侧导数 左导数:∫(x0)=im f(x)-∫(x0) x→>x0 f(x+△x)-∫(x) △→>0 △ 右导数:f(x)=limf(x)-f(x) x→x0 0 im(x+△x)-f(x0) △x→0+ △x 函数r=f(x)在点x可导台函数r=f(x) 在点x0处的左、右导数存在且相等

单侧导数 左导数: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x − −  = − → − x f x x f x x  +  − = → −  ( ) ( ) lim 0 0 0 右导数: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x − −  = + → + x f x x f x x  +  − = → +  ( ) ( ) lim 0 0 0 函数y=f(x)在点x0可导函数y=f(x) 在点x0处的左、右导数存在且相等

可导与连续的关系 如果函数=x)在点x处可导,则f(x) 在点x处连续 即可导则连续 注意:该定理的逆定理不成立

可导与连续的关系 即 可导则连续 如果函数y=f(x)在点x处可导,则f(x) 在点x处连续. 注意: 该定理的逆定理不成立

高阶导数 二阶和二阶以上的导数叫做高阶导数 导数f(x)的导数称为x)的二阶导 数记作∫"(x,y"或dy 般地,y=fx)的n-1阶导数的导数 称为y=x)的n阶导数记作f(x),py或 d"y

高阶导数 二阶和二阶以上的导数叫做高阶导数 导数f (x)的导数称为f(x)的二阶导 数,记作f (x), y或 2 2 dx d y 一般地, y=f(x)的n−1阶导数的导数 称为y=f(x)的n阶导数,记作f (n) (x), y (n)或 n n dx d y

求导法则 1函数和、差、积、商的求导法则 设u=u(x),=v(x)可导,则 (1)[utv′=u'±v(2)(uv)y=u+uv (3)(Cv)y=C(4)()=“"2(v(x)≠0) 2反函数的求导法则 如果函数x=c()的反函数为y=fx),则有 f'(x)= p(y

求导法则 ( ) ( ( ) 0) 2   −   = v x v u v uv v u (1) [uv]=uv (2) (uv)=uv+uv (4) 1.函数和、差、积、商的求导法则 设u=u(x),v=v(x)可导,则 2.反函数的求导法则 如果函数x=(y)的反函数为y=f(x),则有 ( ) 1 ( ) y f x   = (3) (Cv)=Cv

3复合函数的求导法则 设y=f(),而u=g(x),则复合函数y=(x) 的导数为:4_小 dx du dx 4隐函数的求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 5对数求导法 先对等式两边取对数然后根据隐函 数的求导法求出导数

3.复合函数的求导法则 设y=f(u),而u=(x),则复合函数y=f[(x)] 的导数为: dx du du dy dx dy = 4.隐函数的求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 5.对数求导法 先对等式两边取对数,然后根据隐函 数的求导法求出导数