《高等数学》课程教学资源：课程讲义：第九章 含变化率的方程问题——微分方程浅说 §2 特殊类型微分方程的解法（初等积分法）

§2特殊类型微分方程的解法 初等积分法 微分方程的初等解法:初等积分法 求解微分方程 求积分 (通解可用初等函数或积分表示出来)

微分方程的初等解法: 初等积分法 求解微分方程 求积分 (通解可用初等函数或积分表示出来) §2 特殊类型微分方程的解法 ——初等积分法

§21分离变量法 定义:形如 h(x)g(y) 的方程称为变量分离方程 其特点 方程右端是只含x的函数与只含y的 函数的乘积

h(x)g( y) dx dy = 定义: 形如 的方程称为变量分离方程 其特点: 方程右端是只含x的函数与只含y的 函数的乘积 §2.1 分离变量法

变量分离方程的解法 (1)分离变量:将该方程化为等式一边只含 变量y,而另一边只含变量x的形式,即 =h(x)dx(其中g()≠=0 例如,4=2x→=2x2 (2)两边积分: 8()=J(x)h (3)计算上述不定积分,求通解

将该方程化为等式一边只含 变量y,而另一边只含变量x的形式,即 变量分离方程的解法: (1)分离变量: h x dx g y dy ( ) ( ) = (其中g(y)0) 例如, 5 4 2 2x y dx dy = x dx y dy 2 5 4  = 2 (2)两边积分:   = h x dx g y dy ( ) ( ) (3)计算上述不定积分,求通解

例1求解微分方程=2x的通解 解:分离变量得=2xhk(y≠0) 两端积分,得[中=[2xk 求通解得l=x2+C1 x2+C1 2显式解 y →=±eex=C (C=±e) 显然,y=0也是方程的解只须允许C=0即可 方程通解为:y=Ce为任意常数)

例1 求解微分方程 xy 的通解 dx dy = 2 解: 分离变量,得 xdx y dy = 2 两端积分,得   = xdx y dy 2 ln|y|=x 2+C1 1 2 | | x C y e +  = 2 C1 x = e e 2 C1 x  y = e e 2 x = Ce ( ) C1 C = e 求通解,得 ∴方程通解为: 2 x y = Ce (C为任意常数) ( y0) 显然, y=0也是方程的解.只须允许C=0即可 显式解

例2求方程1-y2=3x2m的通解 解:分离变量,得 yay 3x 2(±1) 两端积分,得 3x → +c 3x 得通解: +C=0—隐式解 3x 显然,=土也是方程的解但不能并入通解中

例2 求方程 1− y 2 = 3x 2 yy  的通解 解: 分离变量,得 2 2 1 3x dx y ydy = − ( y 1) 两端积分,得   = − 2 2 1 3x dx y ydy C x  − − y = − + 3 1 1 2 0 3 1 1 2 − − +C = x y 显然, y= 1也是方程的解.但不能并入通解中 得通解: 隐式解

例3求解初值问题:x+2 y+x y 解:分离变量得, 1+y 1+x 两端积分得 yay 2 1+x →ln(1+y2)=ln(1+x2)+C1 →1+y2=e(1+x2)=C(1+x2)(C=e) 代入初始条件,得:C=2 所求特解为:1+y2=2(1+x2)

2 2 1 1 x xdx y ydy + = + 例3 求解初值问题: , y|x=0=1 y x y x xy y 2 2 + +  = 解: 分离变量,得 两端积分,得   + = + 2 2 1 1 x xdx y ydy ln(1+y 2 )=ln(1+x 2 )+C1 1 (1 ) 2 1 2 y e x C  + = + =C(1+x 2 ) ( ) C1 C = e 代入初始条件,得: C=2 所求特解为: 1+y 2=2(1+x 2 )

例3衰变问题:衰变速度与未衰变原子含 量M成比例已知M0=M0,求衰变过程中 铀含量M(O)随时间变化的规律 解:由题意有: 由子当个时,M 衰变速度女日团M故表变速度为负 (x>0,衰变系数) →=-→aM=-「at M M →mM=-+C1→M=eMC=Cen 代入初始条件得:M=Ce0=C(C=c) °M=Mne-n 衰变规律

例3 衰变问题: 衰变速度与未衰变原子含 量M成比例,已知M| t=0=M0 ,求衰变过程中 铀含量M(t)随时间t变化的规律 解: 由题意有: M dt dM = − 衰变速度 (>0,衰变系数) dt M  dM = −    = − dt M dM  lnM= −t+C1 C1 t M e − +  =  =Ce−t ( ) C1 C = e M0=Ce 代入初始条件 0 ,得: =C ∴ M=M0 e −t 衰变规律 由于当t时, M, 故衰变速度为负

§22可化为变量分离方程的方程 类型1形如=∫(ax+b)的方程其中 a,b是常数 令=ax+by→a=a+dx 将原式代入→=a+b(m) 变量分离方程

的方程,其中 a,b是常数 §2.2 可化为变量分离方程的方程 类型1 形如 f (ax by) dx dy = + 令u=ax+by dx dy a b dx du  = + a bf (u) dx du  = + 变量分离方程 将原式代入

例4求方程=2x+y的通解 解:令n=2+y=4=2+如=2+n 分离变量得 =dx 2+L 两端积分,得 du = dx 2+L →mn2+u|=x+C1→|2+l=e+c →L=±e+C-2=Ce-2(C=土e) 得通解:y=Cex-2x-2

例4 求方程 x y 的通解 dx dy = 2 + 解:令u=2x+y dx dy dx du  = 2 + 分离变量,得 两端积分,得 dx u du = 2 +   = + dx u du 2 ln|2+u|=x+C1 1 | 2 | x C u e +  + = 2 1  =  − x+C u e =Cex−2 ( ) C1 C = e =2+u 得通解: y=Cex−2x−2

类型2形如=()的方程称为齐次 微分方程 例如方程= y dx x 2是齐次方程 y 齐次方程中一些特殊情形例如y=2) 可直接分离变量

的方程称为齐次 微分方程 类型2 形如 ( ) x y f dx dy = 例如方程 2 2 x y xy dx dy − = 是齐次方程 2 1 ( ) x y x y dx dy −  = 齐次方程中一些特殊情形(例如 2 ) x y y  = 可直接分离变量