《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）3.2.2 基本初等函数的求导公式

s22基本初等函数的求导公式

§2.2 基本初等函数的求导公式

(Cy=0 (secx)=secxtanx (xy′=nxn-1 cscr cscxcotx (og x= arcsinx)= xIn a J (Sinx)'=cosx (arccos x) 2r coSx=-sinx (arctan x) (tanx)'=seclx 2 1+x (cotx '=-csctx (arc cot x) 1+x2

(C)=0 (x n )=nxn−1 x a a x ln 1 (log ) = (sinx)=cosx (cosx)= −sinx (tanx)=sec2x (cotx)= −csc2x (secx)=secxtanx (cscx)= −cscxcotx 2 1 1 (arcsin ) x x −  = 2 1 1 (arccos ) x x −  = − 2 1 1 (arctan ) x x +  = 2 1 1 (arc cot ) x x +  = −

1任意指数的幂函数p=xa(a∈R)的导数 对数求导法: 先对等式两边取对数然后根据隐 函数的求导法求出导数 对y=xa两边取对数,得:Inyr=anx 两端对x求导得:y= ay ax 即得(x)y=aca-1

1.任意指数的幂函数y=x  (R)的导数 对数求导法: 先对等式两边取对数,然后根据隐 函数的求导法求出导数 对y=x  两边取对数,得: lny=lnx 两端对x求导,得: y x y  =  x y y    = x x   = 即得 (x )=x −1

2指数函数y=r(>0,且≠1)的导数 两边取对数得:ln=xlna 两端对x求导,得: →y=ylnc 即得(a)y=rlna 特别,(e)y=e

2.指数函数y=a x (a>0,且a1)的导数 两边取对数,得: lny=xlna 两端对x求导,得: a y y = ln  即得 (a x )=a x lna y=ylna 特别, (e x )=e x

SIn- 例1求函数y=e的导数 解:y SIn SIn cos cos 2

例1 求函数 的导数 x y e 1 sin = 解: ) 1 (sin 1 sin  =  x y e x ) 1 ( 1 cos 1 sin =    x x e x x e x x 1 cos 1 1 sin 2 = −

例2求函数y=a2-x2+, arcsin 的导数 解:y'=(X√a2-x2)+( arcsin 2 x(a2-x2) x 十 2 2 2∠y 22 x、2 2 2 2 2√a2-x22 2 2

例2 求函数 的导数 解: a a x a x x y arcsin 2 2 2 2 2 = − + arcsin ) 2 ) ( 2 ( 2 2 2  = −  +  a a x a x x y 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 2 1 a x a x a a x x a x a x −  + − −  = − + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a x a a x a x x − + − − − = 2 2 = a − x

例3求下列函数的n阶导数 (1)=xn(2)=e(3)=sinx 解:(1)y=nx-1 y=n(n-1)x-2 (2)y=e

例3 求下列函数的n阶导数: (1)y=x n (2)y=e x (3)y=sinx 解: (1) y=nxn−1 y=n(n−1)x n−2 ... (x n ) (n)=n! (2) y=e x y=e x ... (e x ) (n)=e x

(3)y=cosx=sin(x+ 元 2 =sinx= sin(x++)=sin(x+2. 22 2 7=-cosx=sin(r+3.n y4)=sinx=sin(x+4. ●●● (sin x)=sin(x +n 同理(cosx))=c0s(x+nz)

(3) y=cosx y= −sinx y= −cosx y (4)=sinx ... ) 2 sin(  = x + ) 2 2 sin(   = x + + ) 2 sin( 2  = x +  ) 2 sin( 3  = x +  ) 2 sin( 4  = x +  ) 2 (sin ) sin( ( )  x = x + n n ) 2 (cos ) cos( ( )  x = x + n 同理 n