《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）1.3.3 无穷小量

§33无穷小量 1.无穷小量的概念 2.无穷小量的性质 3.无穷小量阶的比较

§3.3 无穷小量 1. 无穷小量的概念 2. 无穷小量的性质 3. 无穷小量阶的比较

1.无穷小量的概念 无穷小量:以零为极限的变量 若函数x)在某个极限过程中以零 为极限,则称八x)为该过程中的无穷小量, 简称无穷小

1. 无穷小量的概念 无穷小量：以零为极限的变量 若函数f(x)在某个极限过程中以零 为极限, 则称f(x)为该过程中的无穷小量, 简称无穷小

例如, lim sinx=o x→0 →函数sin是当x>0时的无穷小 lm x=0 →函数1是当x→>∞时的无穷小 lim (-1) 0 n →数列(是当n→时的无穷小

例如, lim sin 0 0 = → x x 函数sinx是当x→0时的无穷小 0 1 lim = x→ x 函数 x 1 是当x→时的无穷小 0 ( 1) lim = − → n n n 数列 } ( 1) { n n − 是当n→时的无穷小

注 1无穷小是变量,不是很小的常量 2零是可以作为无穷小的唯一的常量 极限与无穷小量的关系: 定理1函数fx)在某个极限过程中以常 数A为极限兮函数f(x)能表示为常量A与 无穷小量a之和的形式,即 f(x)=A+a

注： 1.无穷小是变量, 不是很小的常量 2.零是可以作为无穷小的唯一的常量 定理1 函数f(x)在某个极限过程中以常 数A为极限函数f(x)能表示为常量A与 无穷小量之和的形式,即 f(x)=A+ 极限与无穷小量的关系：

2无穷小量的性质: 定理2有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量 定理3有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量 推论1无穷小量与无穷小量的乘积仍是无穷小 推论2常量与无穷小量的乘积是无穷小量 定理4无穷小量(0除外的倒数是无穷大量 (类似地无穷大量的倒数是无穷小量)

2.无穷小量的性质: 定理2 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量 定理3 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量 推论1 无穷小量与无穷小量的乘积仍是无穷小 量 推论2 常量与无穷小量的乘积是无穷小量 定理4 无穷小量(0除外)的倒数是无穷大量 (类似地,无穷大量的倒数是无穷小量)

3.无穷小量阶的比较 例如, 当x→>0时,x,x2,sinx,x2sim1都是无穷小 但它们趋于零的快慢程度不同我们 由它们的比值的极限来判断称为无穷小 量阶的比较 两个无穷小量之比称为d”型不定式

3. 无穷小量阶的比较 例如, 但它们趋于零的快慢程度不同,我们 由它们的比值的极限来判断,称为无穷小 量阶的比较 两个无穷小量之比,称为“ 0 0 ”型不定式 当x→0时, x, x 2 , sinx, x x 1 sin 2 都是无穷小

观察各极限: x-=0 x→>03 x2比3要快得多 sIn m sinx与x大致相同 x→>0x C=顶m不存在不可比 lim x→>0 极限不同,反映了趋近于零的“快慢” 程度不同

,不可比 极限不同, 反映了趋近于零的“快慢” 程度不同. x x x 3 lim 2 →0 =0 x x x sin lim →0 =1 2 2 0 1 sin lim x x x x→ x x 1 lim sin →0 = 观察各极限: x 2比3x要快得多 sinx与x大致相同 不存在

定义:设a,B是同一过程中的两个无穷小, 且B=0 1)如果mg=C(C≠0),称a与是同阶无 穷小 特别,当C=1时,称a与足等价无穷小,记 作a~B (2)如果四B,称是较/高阶的无穷小, 记作a=0( (3)如果im8→∞称a是较低阶的无穷小

,称是较 低阶的无穷小 ,称是较 高阶的无穷小, 记作 =o() ,称与是同阶无 穷小 定义: 设 , 是同一过程中的两个无穷小, 且0 (1)如果 lim = C (C  0)   特别,当C=1时,称与是等价无穷小,记 作 ~ (2)如果 lim = 0   (3)如果 →    lim

两个无穷大量之比称为的”型不定式

两个无穷大量之比,称为“   ”型不定式