《数学建模》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三篇 数学分支中的相关数学模型

(数学模丝) 第三篇数学分支中的相头教学模型 §1高等数学相关模型 1.1卫星轨道长度1.2射击命中概率 1.3人口增长率 §2线性代数相关模型 21投入产出综合平衡分析22输电网络 §3概率统计相关模型 3.1合金强度与碳含量3,2年龄与运动能力 3.3商品销售量与价格

第三篇 数学分支中的相关数学模型 §1 高等数学相关模型 1.1卫星轨道长度 1.2射击命中概率 1.3人口增长率 §2 线性代数相关模型 2.1投入产出综合平衡分析 2.2输电网络 §3 概率统计相关模型 3.1合金强度与碳含量 3.2年龄与运动能力 3.3商品销售量与价格

(数学模型 §1高等数学相关模型11卫星轨道长度 问题人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆 近地点距地球表面439km.地球半径6371km 远地点距地球表面2384km 求该卫星的轨道长度 分析卫星轨道椭圆的参数方程 x= a cos t,y=bsit(0≤t≤2丌) ab分别是长、短半轴椭圆长度椭圆积分 L=9d=42(sim21+b3cos2yt无法解析计算

§1 高等数学相关模型 问题 1.1 卫星轨道长度 人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆. 分析 卫星轨道椭圆的参数方程 x = a cost, y = bsin t(0  t  2 ) a,b 分别是长、短半轴 椭圆长度 1 2 2 2 2 2 2 0 L dl a t b t dt 4 ( sin cos )  = = +   椭圆积分 无法解析计算 近地点距地球表面439km. 远地点距地球表面2384km. 地球半径6371km. 求该卫星的轨道长度

数学模型 a=6371+2384=8755.b=6371+439=6810 MATLAB程序 function y=x5() a=8755;b=6810; 求解 =sqrt(a 2 sin(t). 2+b/2*coS(t). 2); t=0:pi10:pi/2 L1=4908996526785276e+004 y1=x5(t) 输出 LI=4 trait, y1) 梯形公式 评注 L2=4“quad(x5,0,pi/2,e-6) L2=4908996531830460e+004 辛普森公式 输出

输出 MATLAB程序 function y=x5(t) a=8755;b=6810; y=sqrt(a^2*sin(t).^2+b^2*cos(t).^2); t=0:pi/10：pi/2 y1=x5(t); L1=4*trapz(t,y1) L2=4*quad(‘x5’,0,pi/2,le-6) L1=4.908996526785276e+004 L2=4.908996531830460e+004 输出 求解 梯形公式 辛普森公式 a = 6371+ 2384 = 8755,b = 6371+ 439 = 6810 评注

(数学模丝) 12射击命中概率题 射击目标为正椭圆形区域,弹着点与中心有随机偏差 弹着点围绕中心成二维正态分布,偏差在X、Y方向独立 椭圆在X方向半轴长120m,Y方向半轴长80m 设弹着点偏差的均方差在X和Y方向均为100m 求炮弹落在椭圆形区域内的概率 分析设目标中心x=0,y=0,则弹着点(x,y概率密度函数 O.=O.=100m p(x, y) 2丌OOy e炮弹命中椭圆形区域的概率 a=120.b=80 P=lp(x, y)dxdy, +2<1 2 b 无法解析计算

1.2 射击命中概率 问题 射击目标为正椭圆形区域,弹着点与中心有随机偏差. 分析 设目标中心x=0,y=0, ( ) 2 1 2 2 2 2 2 1 ( , ) x y x y x y p x y e      − + = 无法解析计算 弹着点围绕中心成二维正态分布,偏差在X、Y方向独立. 求炮弹落在椭圆形区域内的概率. 则弹着点(x,y)概率密度函数  x = y =100m ( , ) , : 1 2 2 2 2 =  +    b y a x P p x y dxdy 炮弹命中椭圆形区域的概率 a =120,b = 80 椭圆在X方向半轴长120m,Y方向半轴长80m. 设弹着点偏差的均方差在X和Y方向均为100m

(数学模丝) 求解:蒙特卡罗方法。作变换x=au,y 以100(m为1单位,则σx=0,=1,a=12,b=0.8 P=ab p(u, v)dudu p(u v=l 2:2+v2<1 2丌 MATLAB程序 X(1)^2+b^2*x(2)^2) a=1,2;b=08;m=0;z=0; FZFy;m=m+1 n=100000 end for i=l:n end x=rand(1, 2) p=4*a*b *z/2/pi/n, m y=0 P=03752,m=78552 ifx(1)^2+x(2)^2<=1 y=exp(0.52(a^2x 输出 评注

求解：蒙特卡罗方法 作变换 x = au, y = bv, 以100(m)为1单位，则  x = y =1,a =1.2,b = 0.8   P = ab p(u,v)dudv , : 1 2 1 ( , ) 2 2 ( ) 2 1 2 2 2 2 =  +  − + p u v e u v a u b v  MATLAB程序 输出 a=1.2;b=0.8;m=0;z=0; n=100000; for i=1:n x=rand(1,2); y=0; if x(1)^2+x(2)^2<=1 y=exp(- 0.5*(a^2* P=0.3752, m=78552 x(1)^2+b^2*x(2)^2)); z=z+y;m=m+1; end end p=4*a*b*z/2/pi/n,m 评注

(数学模丝 13人口增长率 问题1 20世纪美国人口数据(106),计算各年份人口增长率 年份1900191019201930194019501960197019801990 人口76.0920106.5123.21317150.717932040226.52514 年增长率2201.661461.021.041581.491161051.04 分析记时刻t口为x(,则人口相对增长率为 dx/dt 记1900年为k=0r(t)= x 求解:数值微分三点公式=-20x 3x+4x,-x 4x。+3 k 评注 20x 0 20x

1.3 人口增长率 问题1 20世纪美国人口数据(106 ), 年份 1900 1910 1920 1930 人口 76.0 92.0 106.5 123.2 1940 1950 1960 1970 1980 1990 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 计算各年份人口增长率. 分析 记时刻t人口为x(t)，则人口相对增长率为 ( ) / ( ) x t dx dt 记1900年为k=0 r t = 求解：数值微分三点公式 , 1,2, ,8 20 1 1 =  − = + − k x x x r k k k k 9 7 8 9 9 0 0 1 2 0 20 4 3 , 20 3 4 x x x x r x x x x r − + = − + − = 年增长率 2.20 1.66 1.46 1.02 1.04 1.58 1.49 1.16 1.05 1.04 评注

(数学模型 问题2已知某地区20世纪70年代的人口增长率,且1970 年人口为210(百万),试估计1980年的人口 年份 1970 19721974 1976 1978 1980 年增长率(%)0.870.850.89091095110 分析记时刻t口为x(t),则人口增长满足微分方程 d x 记1970年为k=0 =r(t)x()x(0)=x0 r(u)du 求解 x(t)=xoe o 评注 数值积分梯形公式1980年该地区人口为2302(百万

问题2 已知某地区20世纪70年代的人口增长率,且1970 年人口为210（百万）， 年份 1970 1972 1974 年增长率（%） 0.87 0.85 0.89 1976 1978 1980 0.91 0.95 1.10 试估计1980年的人口. 分析 记时刻t人口为x(t)，则人口增长满足微分方程 r(t)x(t) dt dx 记1970年为k=0 = 求解  = t r u du x t x e 0 ( ) 0 ( ) 评注 0 x(0) = x 数值积分梯形公式 1980年该地区人口为230.2（百万）

(数学模 习题:国土面积问题 为算出瑞士的国土面积,首先对瑞士地图作如下测量: 以由西向东方向为x轴,由南到北方向为轴,选择方便 的原点,并将从最西边界点到最东边界点在x轴上的区 间适当地划分为若干段,在每个分点的y方向测出南边 界点和北边界点的坐标,得到表中数据(单位mm) 根据地图比例,18mm相当于40km,试由测量数据计 算瑞士国土的近似面积,与它的精确值41288km比较

为算出瑞士的国土面积，首先对瑞士地图作如下测量： 以由西向东方向为x轴，由南到北方向为y轴，选择方便 的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x轴上的区 间适当地划分为若干段，在每个分点的y方向测出南边 界点和北边界点的坐标，得到表中数据（单位mm）. 习题： 国土面积问题 根据地图比例,18mm相当于40km，试由测量数据计 算瑞士国土的近似面积，与它的精确值41288km比较

(数学模型 §2线性代数相关模型 21投入产出综合平衡分析 背景国民经济各个部门之间存在着相互依存的关系 每个部门在运转中将其他部门的产品或半成品经 过加工(投入)变为自己的产品(产出) 投入产出综合平衡模型:根据各部门间的投入一产出关 系,确定各部门的产出水平,以满足社会的需求 简化设国民经济仅由农业、制造业、和服务业三个 之 问题外部需求、初始投入等如表(产值单位为亿元)

§2 线性代数相关模型 背景 2.1 投入产出综合平衡分析 国民经济各个部门之间存在着相互依存的关系. 投入产出综合平衡模型:根据各部门间的投入—产出关 系，确定各部门的产出水平，以满足社会的需求 . 设国民经济仅由农业、制造业、和服务业三个 部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、 外部需求、初始投入等如表（产值单位为亿元） 简化 问题 每个部门在运转中将其他部门的产品或半成品经 过加工（投入）变为自己的产品（产出）

(数学模丝) 产出 投入、农业制造业服务业全P总产出 需求 农业 15 20 30 35 100 制造业30 10 45 115 200 服务业20 60 70 150 初始 35 10 75 投入 总投入100 200 150 说明

产出 投入 农业 制造业 服务业 外部 需求 总产出 农业 15 20 30 35 100 制造业 30 10 45 115 200 服务业 20 60 / 70 150 初始 投入 35 110 75 总投入 100 200 150 说明