《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）3.2.1 求导数的方法——法则与公式

§2求导数的方法 法则与公式 §21求导法则 、函数和、差、积、商的求导法则 二、复合函数的求导法则 、隐函数的求导法则 四、反函数的求导法则 五、由参数方程所确定的函数的求导 法则

§2 求导数的方法 ——法则与公式 §2.1 求导法则 一、函数和、差、积、商的求导法则 二、复合函数的求导法则 三、隐函数的求导法则 四、反函数的求导法则 五、由参数方程所确定的函数的求导 法则

、函数和、差、积、商的求导法则 如果函数u(x)和vx)是x的可导函数, 则它们的和、差、积、商(分母不为零) 也是x的可导函数,并且 (1)[tv"=u土v (2)(uv=u'v+uv (3)()y (v(x)≠0) 特别,(1y=-

一、函数和、差、积、商的求导法则 ( ) ( ( ) 0) 2   −   = v x v u v uv v u 如果函数u(x)和v(x)是x的可导函数, 则它们的和、差、积、商(分母不为零) 也是x的可导函数,并且 (1) [uv]=uv (2) (uv)=uv+uv (3) 2 ) 1 ( v v v  特别,  = −

推论 (1)∑f(x)=∑f(x (2)[Cf(x)=Cf(x) (3)f(x)=f(x)1(x)…f(x) +…+f1(x)f2(x)…fm(x) ∑宜rx)(x) k≠i

  = =  =  n i i n i f i x f x 1 1 [ ( )] ( )   =  = = =  + +   =  n i n k i k i k n n n i i f x f x f x f x f x f x f x f x f x 1 1 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( )    推论: (2) [Cf(x)]=Cf (x) (1) (3)

例1求y=x3-2x2+sinx的导数 解:y=(x3-2x2+sinx) (x )'(2x)'+(sinx) =3x2-4x+cosx

例1 求y=x 3−2x 2+sinx的导数 解: y=(x 3−2x 2+sinx) =(x 3 )−(2x 2 )+(sinx) =3x 2−4x+cosx

例2求=sin2xn的导数 解:y=2 sinx cosxnx y=2(sinx). cosxInx+2sinx. cosx). In +2sinx cosx Inx) 2cosx cosxInx+2sinx( sinx).Inx +2siny·cosx 2cos 2xInx+sin 2x

例2 求y=sin2xlnx的导数 解: y=2sinxcosxlnx y=2(sinx)cosxlnx+2sinx(cosx)lnx +2sinxcosx(lnx) =2cosxcosxlnx+2sinx(−sinx)lnx x x x 1 + 2sin  cos  x x x x sin2 1 = 2cos 2 ln +

例3求=tan的导数 解:y=( tan x)=(xy cosx (Sin x) cos x-sin x(cos x) cos X 2 cosx+sin x 2-secx cos x cos x 即(tanx)y=sec2x 同理可得:( cotx)=-csc2x

例3 求y=tanx的导数 解: ) cos sin  = (tan ) = (  x x y x x x x x x 2 cos (sin )cos − sin (cos ) = x x x 2 2 2 cos cos + sin = x 2 cos 1 = =sec2x 即 (tanx)=sec2x 同理可得: (cotx)= −csc2x

例4求j=secx的导数 解:y=(sey=(1y cosx cos X sInx 2 -sextant 2 cos x cos x 即( secx)'= sextant 同理可得:( csce)=- cscxcotr

例4 求y=secx的导数 解: ) cos 1  = (sec ) = (  x y x x x 2 cos (cos ) = − x x 2 cos − sin = − =secxtanx 同理可得: (cscx)= −cscxcotx 即 (secx)=secxtanx

二、复合函数的求导法则 如果函数u=(x)在点x处可导,y=fa) 在对应点l=p(x)处也可导,则有复合函数 y八q(x)在点x可导,其导数为: dy dy 即复合函数的导数等于函数对中间 变量的导数乘以中间变量对自变量的导 数

二、复合函数的求导法则 如果函数u=(x)在点x处可导, y=f(u) 在对应点u=(x)处也可导,则有复合函数 y=f[(x)]在点x可导,其导数为: dx du du dy dx dy = 即复合函数的导数,等于函数对中间 变量的导数乘以中间变量对自变量的导 数

例5求y= Insinx的导数 解:y=Inu,u=sinx cos x cos x =cotx dx du dx u sInx 求复合函数的导数的关键 对复合函数进行正确的分解

例5 求y=lnsinx的导数 解: y=lnu, u=sinx dx du du dy dx dy = x u cos 1 = x x sin cos = =cotx 求复合函数的导数的关键: 对复合函数进行正确的分解

例6求=(x2+1)1的导数 解: _小 u ax →y=10(x2+1y(x2+1 =10(x2+1)92x 20x(x2+1)9

例6 求y=(x 2+1)10的导数 解: dx du du dy dx dy = y=10(x 2+1)9 (x 2+1) =10(x 2+1)9 2x =20x(x 2+1)9