《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）3.3.1 局部改变量的估值问题——微分及其运算

§3局部改变量的估值问题 微分及其运算 §3.1微分 微分的概念 微分的几何意义

§3 局部改变量的估值问题 ——微分及其运算 §3.1 微分 一、微分的概念 二、微分的几何意义

微分概念 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量 设边长由x变到x+△x A℃(△x)2 xA JAr 正方形面积S=x2 △S=(x+△x)2-x2 2x△x+(△x)2 = ≈2x△x>S=x2的微分 (1):△x的线性函数→为△的主要部分 (2):△x的高阶无穷小,当△x很小时可忽略

一、微分概念 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量 设边长由x变到x+x 正方形面积S=x 2 S=(x+x) 2−x 2 =2xx+(x) 2 (1) (2) x x (x) 2 xx S= xx x 2 x x (1):x的线性函数 (2):x的高阶无穷小,当|x|很小时可忽略 →为S的主要部分 2xx→S=x 2的微分

定义设函数yf(x)在点x处有增量Ax,若 相应的函数增量小可表示成 △yA△x+0(△x), 其中A与△x无关,4x称为y的线性主部, 0(△x)是关于△x的高阶无穷小,则称函数 yf(x)在点x可微,并称A△x为函数yf(x) 在点x处的微分记作小或4f(x),即 dy=djfx)=A△x 有△y=dy+O(△x)

设函数y=f(x)在点x处有增量x,若 相应的函数增量y可表示成 y=Ax+o(x), 其中A与x无关,Ax称为y的线性主部, o(x)是关于x的高阶无穷小, 则称函数 y=f(x)在点x可微, 并称Ax为函数y=f(x) 在点x处的微分,记作dy或df(x),即 dy=df(x)=Ax 定义 有 y=dy+o(x)

由定义知 (1)小是自变量的改变量△x的线性函数 (2)△y-dy=o(△x)是比△x高阶无穷小 (3)当A≠0时,dy与Ay是等价无穷小 =1+△r) AA→1(△x->0 (4)A与△无关,但与几(x)和x有关 (5)当△很小时,4ydy(线性主部)

由定义知: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数 (2) y−dy=o(x)是比x高阶无穷小 A x o x   = + ( ) 1 (3) 当A0时,dy与y是等价无穷小 dy y  →1 (x→0) (4) A与x无关,但与f(x)和x有关 (5) 当|x|很小时,ydy (线性主部)

定理函数(x)在点x可微兮函数fx)在点 x可导,且A=f"(x) 证必要性::x)在点x可微 y=4x+0(△x)力Mrq△x) im今y=A+lmo(△)=A △x→>0△X △x->0△x 即函数(x)在点x可导,且4=f'(x)

函数f(x)在点x可微函数f(x)在点 x可导,且A=f (x) 定理 [证] 必要性: ∵f(x)在点x可微 ∴y=Ax+o(x) x o x A x y   = +    ( ) x o x A x y x x   = +     →  → ( ) lim lim 0 0 =A 即函数f(x)在点x可导,且A=f (x)

充分性:∵∴f(x)在点x可导 lim ay y f(x)→△ f(x)+a △x->0△x 从而△=(x)△x+aAx∵a>0(Δx→>0 f(x)△x+0(△x) 即函数fx)在点x可微 ∴可导兮可微A-f(x) 于是微分4=x可写成df(x)△x

充分性: ∵f(x)在点x可导 lim ( ) 0 f x x y x =      → =  +    f (x) x y 从而y=f (x)x+x =f (x)x+o(x) ∵→0 (x→0) 即函数f(x)在点x可微 ∴可导可微 A=f (x) 于是,微分dy=Ax可写成dy=f (x)x

通常把自变量x的增量△x称为自变 量的微分,记作dx,即x=△x ∵令y=x→=xy"△=x!△x=Ax 于是微分进一步可写成:df(x)dx

通常把自变量x的增量x称为自变 量的微分,记作dx,即dx=x ∵令y=xdy=dx =yx=xx=x 于是,微分进一步可写成: dy=f (x)dx

微分的几何意义 如图, f(o=tana M 1o(△x) NT △ 0 MN ■■p 0 y=f(r →NT=f(x)△x →NT= o x 0 △ 即Ay是曲线的纵坐标增量时,就是 切线纵坐标对应的增量

二、微分的几何意义 如图, 即y是曲线的纵坐标增量时,dy就是 切线纵坐标对应的增量 dy y T ） M0 x0 y o x y=f(x) N M x0+x M N NT 0 = f (x0 )=tan  NT = f (x0 )x  NT = dy o(x)

思考题 由于函数yf(x)在x的可微性与可 导性是等价的,所以有人说“微分就 是 数导数就是微分”,这说法对吗? 从概念上讲微分是从求函数增量 引出线性主部而得到的,导数是从函数 变化率问题归纳出函数增量与自变量 之比的极限它们是完全不同的概念

思考题 由于函数y=f(x)在x的可微性与可 导性是等价的, 所以有人说“微分就 是 导数,导数就是微分”,这说法对吗？ 解答: 说法不对 从概念上讲,微分是从求函数增量 引出线性主部而得到的,导数是从函数 变化率问题归纳出函数增量与自变量 之比的极限,它们是完全不同的概念