《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）1.习题课

§1.习题课 、主要内容 例题

§1.习题课 一、主要内容 二、例题

主要内容 (一)邻域的定义 ◎(二)数列极限的概念 (三)函数极限的概念

（一）邻域的定义 （二）数列极限的概念 （三）函数极限的概念 一、主要内容

邻域与点x距离小于δ0)的全体实 数的集合称为点x的δ邻域记作U(x0,δ) 用集合表示:{xkx-xol<δ} U(xa,8):如果点x的δ域U(x,S)不 包含点x,则称为点x的去心邻域 用集合表示:{x04x-xol<δ}

与点x0距离小于 (>0) 的全体实 数的集合称为点x0的 邻域,记作U(x0 , ) 邻域 U0 (x0 ,  )：如果点x0的邻域U(x0 ,  )不 包含点x0 , 则称为点x0的去心邻域 用集合表示： {x| x−x0 < } 用集合表示： {x| 0<x−x0 < }

数列极限的定义 如果对于任意给定的正数E(不论 它多么小,总存在正数N使得对于n>N 时的一切n,不等式anla(n->) n→>0 E-N定义: lim a=a 台VE>0,N≈0,使n>N时,恒有|an-l|<E

数列极限的定义 如果对于任意给定的正数 (不论 它多么小),总存在正数N,使得对于n>N 时的一切n,不等式|an−a|0,N>0,使n>N时,恒有|an−a|< a a n n = → lim

函数极限的定义(x→>x0) 设函数y=f(x)在点x0的近旁有定义(在 点x处可以无定义,如果对于任意正数e (不管它有多小),总存在相应的正数a使得 满足00,38>0,使当0<x-xo<8时, 恒有f(x)-4|<E

函数极限的定义(x→x0 ) 设函数y=f(x)在点x0的近旁有定义(在 点x0处可以无定义),如果对于任意正数 (不管它有多小),总存在相应的正数, 使得 满足00, >0,使当0<|x−x0 |< 时, 恒有|f(x)−A|<  − 定义:

左极限和右极限 自变量x从x的左侧或右侧趋近x时 函数fx)的极限,称为左极限或右极限,分 别记为limf(x)和limf(x) 十 x→>xo x→x 定理函数(x)当xx时存在极限兮→左极 限和右极限存在且相等

左极限和右极限 自变量x从x0的左侧或右侧趋近x0时 函数f(x)的极限, 称为左极限或右极限,分 别记为 lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x x x x x → − 和 → + 定理 函数f(x)当x→x0时存在极限左极 限和右极限存在且相等

函数极限的性质 局部保号性定理若limf(x)=A x→>x0 ,且A>0(或A0,当x∈Ux, δ)时,fx)>0(或f(x)x0 limg(x)=B,则A≤B x→>0

函数极限的性质 , 且A>0 (或 A0, 当xU0 (x0 ,  )时, f(x)>0 (或 f(x)<0) 局部保号性定理 若 f x A x x = → lim ( ) 0 定理 如果f(x)≥0, 且 f x A x x = → lim ( ) 0 ,那么A≥0 推论 若f(x)≤g(x), 且 lim ( ) , 0 f x A x x = → g x B x x = → lim ( ) 0 ,则A≤B

无穷小量与无穷大量 无穷小量:极限为零的变量 记作imf(x)=0(或imf(x)=0) x→x ● 0 无穷大:绝对值无限增大的变量 记作lmf(x)=0(或limf(x)=) →0 0 无穷小与无穷大的关系 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大

无穷小量:极限为零的变量 无穷大:绝对值无限增大的变量 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大 无穷小与无穷大的关系 无穷小量与无穷大量 记作 lim ( ) 0 0 = → f x x x ( lim ( ) = 0) →  f x x 或 记作 =  → lim ( ) 0 f x x x ( lim ( ) = ) →  f x x 或

无穷小的运算性质 定理有限个无穷小量的代数和仍是无穷 小量 定理有界变量与无穷小量的乘积是无穷 小量 推论无穷小量与无穷小量的乘积仍是无 穷小量 推论常量与无穷小量的乘积是无穷小量 推论在同一过程中有极限的变量与无穷 小量的乘积仍是无穷小量

无穷小的运算性质 定理 有限个无穷小量的代数和仍是无穷 小量 定理 有界变量与无穷小量的乘积是无穷 小量 推论 无穷小量与无穷小量的乘积仍是无 穷小量 推论 常量与无穷小量的乘积是无穷小量 推论 在同一过程中,有极限的变量与无穷 小量的乘积仍是无穷小量

无穷小量阶的比较 aB是同一过程中的两个无穷小,且B=0 (1)如果mimg=C(C≠0,称a与是同阶无 穷小 特别,当C=1时称a与B是等价无穷小,记 作a~B )如果m%=0,称a是较高阶的无穷小, 记作a=0( (3如,称a较B低阶的无穷小

无穷小量阶的比较 ,称是较 低阶的无穷小 ,称是较 高阶的无穷小, 记作 =o() ,称与是同阶无 穷小 , 是同一过程中的两个无穷小,且0 (1)如果 lim = C (C  0)   特别,当C=1时,称与是等价无穷小,记 作 ~ (2)如果 lim = 0   (3)如果 →    lim