《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）2.3.1 连续函数的概念和连续函数求极限的法则

§3变量连续变化的数学模型 连续函数 §31连续函数的概念和连续函数 求极限的法则

§3 变量连续变化的数学模型 ——连续函数 §3.1 连续函数的概念和连续函数 求极限的法则

连续函数的概念 函数的增量: 设函数y=f(x)的定义域为X,如图所示 △x=x-x0,称为自变量 f(r 在点x0的增量 △ Δy=f(x)-f(x) 或Δy=f(xa+△x)-f(xo) dxx+ax文称为函数的增量

一、连续函数的概念 函数的增量: 设函数y=f(x)的定义域为X,如图所示 x=x−x0 ,称为自变量 在点x0的增量 x y 0 0 x x + x 0 y = f (x) x y y=f(x)−f(x0 ) 或 y=f(x0+x)−f(x0 ) 称为函数的增量

定义1设函数(x)在点x及其邻域有定 义,当x->x时fx)的极限存在,且等于该 点处的函数值fx),即limf(x)=f(x) 则称函数f(x)在点x处连续,x称为函数 fx)的连续点 如果函数在某一区间的任意一点都 连续,则称此函数是该区间上的连续函数 连续函数的图形是一条连续而不间 断的曲线

设函数f(x)在点x0及其邻域有定 义,当x→x0时f(x)的极限存在,且等于该 点处的函数值f(x0 ), 即 定义1 则称函数f(x)在点x0处连续, x0称为函数 f(x)的连续点 如果函数在某一区间的任意一点都 连续,则称此函数是该区间上的连续函数 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 连续函数的图形是一条连续而不间 断的曲线

XsIn X≠ 0 例1证明函数∫(x)= x=0 在x=0处连续 证]∵: lim rsin-1=0 又八(0)=0则limf(x)=f(0) :-)0 由定义1知,函数fx)在x=0处连续

例1 证明函数     =  = 0, 0 , 0 1 sin ( ) x x x x f x 在x=0处连续 [证] 0 1 lim sin 0 = → x x x  又f(0)=0 则 lim ( ) (0) 0 f x f x = → 由定义1知, 函数f(x)在x=0处连续

定义2设函数fx)在点x及其邻域有定 义,当△x=x-x0>0时,△=fx)-fx)→>0 即lm△y=0,则称函数fx)在点x处连 △x→>0 续 函数在一点处连续的本质特征: 自变量变化很小时,函数值的变化也很小

,则称函数f(x)在点x0处连 续 设函数f(x)在点x0及其邻域有定 义,当x=x−x0→0时, y=f(x)−f(x0 )→0, 即 定义2 lim 0 0  =  → y x 函数在一点处连续的本质特征: 自变量变化很小时,函数值的变化也很小

例2证明正弦函数y=sinx在区间(∞,+) 内连续 证]任取x∈(∞o,+) △y=sin(x+△x)-sinx=2si A≤2si4/习y cos(x+ cos(+ 4r 0时,△>0,即sinx在点x处连续 由x的任意性,命题得证

例2 证明正弦函数y=sinx在区间(−,+) 内连续 [证] 任取x(−,+) y=sin(x+x)−sinx ) 2 cos( 2 2sin x x x   +  = ) 1 2 cos(   + x  x 2 2sin x y     ,当0时,有|sin|< 当x→0时, y→0  |y|<|x| ,即sinx在点x处连续 由x的任意性,命题得证

函数的间断点 由定义1,函数fx)在点x处连续应 同时满足三个条件: (1)fx)在点x处有定义 (2)limf(x)存在 x→>x0 Blim f(x)=f(o) x→>x 0 如果这三个条件至少有一个不满 足,则称函数fx)在点xo间断,x称为函 数的间断点

二、函数的间断点 由定义1,函数f(x)在点x0处连续应 同时满足三个条件： (1) f(x)在点x0处有定义 (2) lim ( ) 0 f x x→x 存在 (3) lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 如果这三个条件至少有一个不满 足,则称函数f(x)在点x0间断, x0称为函 数的间断点

例如函数y=在x=0处无定义 所以x=0是该函数的间断点 另:第二个条件可以用“左、右极限存在 且相等”来代替,用于讨论分段函数 的 连续性

例如,函数 x y 1 = 在x=0处无定义 所以x=0是该函数的间断点 另:第二个条件可以用“左、右极限存在 且相等”来代替,用于讨论分段函数 的 连续性

x≤0 例3讨论函数f(x)= 1+xx>0 在x=0处的连续性 解:im∫(x)=0 0 lim f(x)=1 x→0+ 左、右极限存在但不相等,故 limf(x)不存在 即该函数在x0处间断

例3 讨论函数    +  −  = 1 , 0 , 0 ( ) x x x x f x 在x=0处的连续性 o x y 解： lim ( ) 0 0 = → − f x x lim ( ) 1 0 = → + f x x 左、右极限存在但不相等,故 lim ( ) 0 f x x→ 不存在 即该函数在x=0处间断

间断点的类型 1跳跃间断点如果fx)在点x0左、右极限 都存在,但mf(x)≠im∫(x),则称点x0 为函数fx)的跳跃间断点 如例3 2可去间断点如果fx)在点x处的极限存 在但耻mf(x)=A≠f(x)或fx)在点x处 无定义则称点x为函数(的可去间断点

或f(x)在点x0处 无定义,则称点x0为函数f(x)的可去间断点 间断点的类型 1.跳跃间断点 如果f(x)在点x0左、右极限 都存在,但 ,则称点x0 为函数f(x)的跳跃间断点 如例3 2.可去间断点 如果f(x)在点x0处的极限存 在,但 lim ( ) ( ) 0 0 f x A f x x x =  → lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x x x x x → − → + 