《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）8.2 线性方程组的解法

§2线性方程组的解法 §21克拉默法则 我们已经知道在一定条件下,二元 (或三元)线性方程组的解可以用二阶 (或三阶)行列式表示出来那么,对于n元 线性方程组能否用n阶行列式来表示?

§2 线性方程组的解法 §2.1 克拉默法则 我们已经知道,在一定条件下,二元 (或三元) 线性方程组的解可以用二阶 (或三阶)行列式表示出来.那么,对于n元 线性方程组能否用n阶行列式来表示?

定理(克拉默法则)如果线性方程组 1x1+1 x,+∴+观1.x 12~2 Inn 21x1+a2x2+…+a2nxn=b2 n1X1+anx++a…x = 的系数行列式 12 D 21 22 2n ≠0 n n2 nn

      + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 定理(克拉默法则) 如果线性方程组 的系数行列式 0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 =  n n nn n n a a a a a a a a a D       

那么该线性方程组有且仅有唯一解 D D D 其中D;(=1,2,n)是把系数行列式D中 第j列的元素用方程组右端的常数项替 换后得到的n阶行列式即 h a 1,+1 In b 2,j+1 2n n,j-1 n n,j+1 nn

那么该线性方程组有且仅有唯一解: D D x D D x D D x n = , = , , n = 2 2 1 1  其中Dj (j=1,2,...,n)是把系数行列式D中 第j列的元素用方程组右端的常数项替 换后得到的n阶行列式. 即 n n j n n j nn j j n j j n j a a b a a a a b a a a a b a a D              1 , 1 , 1 2 1 2, 1 2 2, 1 2 1 1 1, 1 1 1, 1 1 − + − + − + =

定理中包含三个结论: (1)方程组有解 (2)解是唯一的 (3)解由公式x=(=1,2…,m)给出 注:用克拉默法则解线性方程组必须有 两个前提条件: (1)未知数个数等于方程个数 (2)系数行列式D=0

定理中包含三个结论: (1)方程组有解 (2)解是唯一的 (3)解由公式 D D x j j = ( j=1,2,...,n)给出 注: 用克拉默法则解线性方程组必须有 两个前提条件: (1)未知数个数等于方程个数 (2)系数行列式D0

,+x 2 5r2+ 4 8 3. 2 6x,=9 例1解线性方程组 2x2-x3+2x4=-5 +4x2-7x2+6x4=0 3 解:方程组的系数行列式 51 D 2/27×0 14-76

例1 解线性方程组        + − + = − + = − − − = + − + = 4 7 6 0 2 2 5 3 6 9 2 5 8 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 解:方程组的系数行列式 1 4 7 6 0 2 1 2 1 3 0 6 2 1 5 1 − − − − − D = =27 0

由克拉默法则知,方程组有唯一解 81 51 D 81→x 502 2-12 4-76 81 3 27 8-51 190 D2= 108→x D2 0-5-12 76 =108 27

由克拉默法则知,方程组有唯一解 0 4 7 6 5 2 1 2 9 3 0 6 8 1 5 1 1 − − − − − − D = =81 = −108 1 0 7 6 0 5 1 2 1 9 0 6 2 8 5 1 2 − − − − − D = D D x 1  1 = 27 81 = =3 D D x 2  2 = 27 −108 = = −4

2181 39 6 LL① 52|=-27→x3= 22 50 689 D D4 27→x 02 1-5 27 14-70 27

1 4 0 6 0 2 5 2 1 3 9 6 2 1 8 1 3 − − − D = = −27 1 4 7 0 0 2 1 5 1 3 0 9 2 1 5 8 4 − − − − − D = =27 D D x 3  3 = 27 − 27 = = −1 D D x 4  4 = 27 27 = =1

§22消元法 些方程组不能同时满足未知数 个数等于方程个数和系数行列式D≠0 两个条件,也就不能用克拉默法则 采用高斯消元法求解任意多个方 程任意多个未知数的线性方程组其思 想方法:自上而下依次减少方程组中各 方程中未知数的个数使之成为阶梯形

§2.2 消元法 一些方程组不能同时满足未知数 个数等于方程个数和系数行列式D0 两个条件,也就不能用克拉默法则 采用高斯消元法求解任意多个方 程任意多个未知数的线性方程组.其思 想方法:自上而下依次减少方程组中各 方程中未知数的个数,使之成为阶梯形

3x,+2y,-8x,=17 例2解线性方程组2x1-5x2+3x2=3 x1+7x2-5x3=2 解:(1)对换第一个方程与第三个方程的位 置x+7x2-5x3=2 2x,-5x +3 3 3x1+2x2-8x3=17 (2)把第一个方程的-2倍加到第二个方程, 将第一个方程的3倍加第三个方程

例2 解线性方程组      + − = − + = − + − = 7 5 2 2 5 3 3 3 2 8 17 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 解: (1)对换第一个方程与第三个方程的位 置      − + − = − + = + − = 3 2 8 17 2 5 3 3 7 5 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x (2)把第一个方程的−2倍加到第二个方程, 将第一个方程的3倍加第三个方程

x1+7x2-5x3 -19x,+13x3=-1 23x,-23x3=23 3)用乘第三个方程 x1+7x2-5x2=2 -19x2+13x3=-1 (4)对换第二个方程和第三个方程的位置

     − = − + = − + − = 23 23 23 19 13 1 7 5 2 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x (3)用 23 1 乘第三个方程      − = − + = − + − = 1 19 13 1 7 5 2 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x (4)对换第二个方程和第三个方程的位置