《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）8.3 应用广泛的数表——矩阵

s3应用广泛的数表—矩阵 s31矩阵的概念 用消元法求解线性方程组中,对方程 组施行初等变换实质上只与未知数的系 数有关而与未知数无关 故可以将未知数略去不写,只将未知 数系数按照原来的顺序关系排成一张数 表对这数表施行三种变换即可

§3 应用广泛的数表——矩阵 §3.1 矩阵的概念 用消元法求解线性方程组中,对方程 组施行初等变换,实质上只与未知数的系 数有关,而与未知数无关. 故,可以将未知数略去不写,只将未知 数系数按照原来的顺序关系排成一张数 表,对这数表施行三种变换即可

定义:由mxn个数a(=12,…,m:=1,2,…,n) 排成的数表 12 n 21 22 2n h2· 称为m行m列矩阵简记为4=(a) mens ai称为 矩阵4的第祈第列的元素

定义:             m m mn n n a a a a a a a a a        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 由mn个数aij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n) 排成的数表 称为m行n列矩阵,简记为A=(aij)mn , aij称为 矩阵A的第i行第j列的元素

注:(1)行列式是一个数矩阵是一张数表 (2)行列式要求行数与列数相等矩阵 的行数与列数可以不相等 对应方程组的三种初等变换,有: 定义:下述三种变换称为矩阵的行初等 变换:(1)对调两行 (2)用非零数乘某一行的每个元素 (3用数乘某一行的每个元素后加 到另一行的对应元素上

定义: 下述三种变换称为矩阵的行初等 变换: 注: (1)行列式是一个数,矩阵是一张数表 (2)行列式要求行数与列数相等,矩阵 的行数与列数可以不相等 对应方程组的三种初等变换,有: (1)对调两行 (2)用非零数乘某一行的每个元素 (3)用数乘某一行的每个元素后加 到另一行的对应元素上

§32矩阵的运算 1矩阵的加法 定义:设有两个m行n列矩阵A=(a;)mn和 B=(b;)n那么矩阵A与B的和记作A+B a1,+b 12 +b, 12 a+b a,+b,atb A+B= 22 a. +b 2n 2n …+ b. aatb 2 2 a+b =(a;+b)

§3.2 矩阵的运算 1.矩阵的加法 定义: 设有两个m行n列矩阵A=(aij)mn和 B=(bij)mn ,那么矩阵A与B的和记作A+B i j i j m n m m m m mn mn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b A B = +            + + + + + + + + + + = ( ) 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1       

注:相加的两个矩阵必须行数和列数分别 相等 元素全为零的矩阵称为零矩阵,记为 Xn 或简记为O 矩阵(-n)m称为矩阵A=(amn的负 矩阵,记作-A 可定义矩阵的减法:A-B=4+(-B)

注: 相加的两个矩阵必须行数和列数分别 相等 元素全为零的矩阵称为零矩阵,记为 Omn或简记为O 矩阵(−aij)mn称为矩阵A=(aij)mn的负 矩阵,记作−A 可定义矩阵的减法: A−B=A+(−B)

矩阵的加法满足: (1)交换律:A+B=B+A (2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C) (3)4+0=4 (4)A+(-4)=0

矩阵的加法满足: (1) 交换律: A+B=B+A (2) 结合律: (A+B)+C=A+(B+C) (3) A+O=A (4) A+(−A)=O

2矩阵的数乘 定义:数k与矩阵A=(an)mBn的乘积记作A kaka a ka 4= 22 ke 2n =() 力)m×n ke a m2

2.矩阵的数乘 定义: 数k与矩阵A=(aij)mn的乘积记作kA i j m n m m mn n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA =              = ( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1       

注:数与矩阵的乘法和数与行列式的乘 法是不同的 矩阵的数乘满足: (1)(DA=k(4) (2)k(4+B)=kA+kB (3)(k+O4=kA+A

注: 数与矩阵的乘法和数与行列式的乘 法是不同的 矩阵的数乘满足: (1) (kl)A=k(lA) (2) k(A+B)=kA+kB (3) (k+l)A=kA+lA

3矩阵的转置 定义:把矩阵A=(an)mn的行列互换得到的 n×m矩阵称为A的转置矩阵,记作4 T 11 12 In 11 21 21 22 2n 12 22 m2 ●●● m2 nJn×n In w2n mn nXn

3.矩阵的转置 定义: 把矩阵A=(aij)mn的行列互换得到的 nm矩阵,称为A的转置矩阵,记作AT n n mn n m m m T m m mn m n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a               =                           1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1

矩阵的转置满足: (1)(4)=A (2)(4+B)7=AT+B7 (3)(k4)=k47

矩阵的转置满足: (1) (AT ) T=A (2) (A+B) T=AT+BT (3) (kA) T=kAT