《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）4.3.1 函数的单调性

§3用导数研究函数的性质 单调性、极值和最大最小值 §31函数的单调性

§3 用导数研究函数的性质 ——单调性、极值和最大最小值 §3.1 函数的单调性

单调性的判别 y/k)y y=f(r) b o a f"(x)≥0 f'(x)≤0 定理:设函数yf(x)在区间(a,b)内可导,则 该函数在区间(a,b)内单调增加(或减少 f(x)≥0(或f"(x)≤0),x∈(an,b),而f(x)=0 只在个别点处成立

设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,则 该函数在区间(a,b)内单调增加(或减少) f (x)≥0(或f (x)≤0), x(a,b),而f (x)=0 只在个别点处成立 单调性的判别 y o x y=f(x) a b f (x)≥0 y o x y=f(x) a b f (x)≤0 定理:

例1讨论函数y=e-x-1的单调性 解:x∈(-∞,+∞) 使f"(x)=0的点只有一个,即x=0 在(,0内,y≤0→函数单调减少 在(0,+∞)内,y>0→函数单调增加

例1 讨论函数y=e x−x−1的单调性 解: y=e x−1 x(−,+) 在(−,0]内, y≤0函数单调减少 在(0,+)内, y>0 函数单调增加 使f (x)=0的点只有一个,即x=0

单调区间求法 问题:如上例,函数在定义区间上不是单 调的,但在各个子区间上单调 般,导数为零的点(即驻点)和不可 导点,可能是单调区间的分界点 方法:用方程∫x)=0的根及∫(x)不存在 的点来划分函数fx)的定义区间,然后判 别各区间内导数的符号: ∫'(x)>0→增f'(x)<0→减

用方程 f (x)=0的根及 f (x)不存在 的点来划分函数f(x)的定义区间, 然后判 别各区间内导数的符号: 单调区间求法 问题: 如上例,函数在定义区间上不是单 调的,但在各个子区间上单调 一般,导数为零的点(即驻点)和不可 导点,可能是单调区间的分界点 方法: f (x)>0增 f (x)<0减

例2确定函数fx)=2x3-9x2+12x-3的单调 区间 解:x∈(-0,+∞) f"(xo)=6x2-18x+12=6(x1)(x2) 解方程∫'(x)=0得:x1=1,x2=2 当-∞0=(-∞,1上单调增加 当10→[2,+0)上单调增加 单调增加区间为(-∞,1UJ[2,+∞) 单调减少区间为[1,2

例2 确定函数f(x)=2x 3−9x 2+12x−3的单调 区间 解: f (x)=6x 2−18x+12 x(−,+) =6(x−1)(x−2) 解方程 f (x)=0得: x1=1, x2=2 当−0(−,1]上单调增加 当10[2,+)上单调增加 ∴单调增加区间为(−,1]∪[2,+) 单调减少区间为[1,2]

例3确定函数x)=x2的单调区间 解:x∈(-∞,+o) f(x=2 33x 当x=0时,导数不存在 当-∞0→0,+∞)上单调增加 ∴单调减少区间为(-∞,0 单调增加区间为[0,+∞)

例3 确定函数f(x)= 3 x 2 的单调区间 解: x(−,+) 3 3 2 ( ) x f  x = 当x=0时,导数不存在 当−0[0,+)上单调增加 ∴单调减少区间为(−,0] 单调增加区间为[0,+)

导数符号的几何意义 对于某区间上的函数y=f(x) 导数为正,曲线上升; 导数为零,曲线不升不降; 导数为负,曲线下降

导数符号的几何意义 对于某区间上的函数y=f(x): 导数为正,曲线上升; 导数为零,曲线不升不降; 导数为负,曲线下降