东北大学：《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第二章 复变函数的积分

复 第二章复变函数的积分 与 §2.1复变函数的积分 积 §2.2 Cauchy积分定理 变 §2.3 Cauchy积分公式 换 §2.4解析函数的原函数

第二章 复变函数的积分 §2.1 复变函数的积分 §2.2 Cauchy积分定理 §2.3 Cauchy积分公式 §2.4 解析函数的原函数

复变函数与积分变一 主要内容 本章介绍复变函数的积分概念,解析 分函数积分的主要性质.重点是 Cauchy积分 损定理、 Cauchy积分公式、Gauy(高阶)导 数公式

主 要 内 容 本章介绍复变函数的积分概念，解析 函数积分的主要性质. 重点是Cauchy积分 定理、Cauchy积分公式、Cauchy(高阶)导 数公式

复变函数与积兮变换 §21复变函数的积分 1积分的概念 2积分存在条件及性质 3积分的计算

§2.1 复变函数的积分 1 积分的概念 2 积分存在条件及性质 3 积分的计算

2.1.1积分的概念 复变函数与积兮变换 定义21设C是复平面上以孤为起点,Z为终 有向简单连续曲线,f(x)是C上的复变函数 在C上依次取分点 0195k-15 k9<m-15n Z 把曲线C分割为n个小段 k-1 2 (如图)

2.1.1 积分的概念 1 , , , , k n n z z z Z − = 定义2.1 设 C是复平面上以z0为起点, Z为终 o x y 0 z Z n−1 z k z k−1 z 2 z 1 z C 有向简单连续曲线， f z( ) 是C上的复变函数. 在C上依次取分点 把曲线C分割为n个小段. (如图) 0 1 1 , , , , k z z z −

在每个小弧段12(k=1,2,…,m)上任取 复变函数与积兮变换 点5n(k=1,2,…,m),做和数 Sn=∑∫(5k)△x, k=1 分其中,xk=k-k =1 99 令 k-1 元=max2xk 2 k≤n

o x y 0 z Z n−1 z k z k−1 z 2 z 1 z k  C  1  2 在每个小弧段 ( ) 1 1,2, , k k z z k n − = 上任取 一点 ( 1,2, , ), n  k n = 做和数 1 ( ) , n n k k k S f z  = =   其中， k k k 1 z z z  = − − (k n = 1,2, , .) 令   1 max . k k n  z   = 

如果分点的个数无限增多,并且极限 复变数 imSn=lm∑f(4)Ak 5存在则称该极限值为函数f(x)在曲线C上的积分, 积并记作f(z)dz,即 变换 「f(a)kz=m∑/()△x 如果C是闭曲线,经常记作f(z)dz 当C是实轴上的区间[a,b],方向从a到b,并且 f(z)为实值函数,那么这个积分就是定积分

如果分点的个数无限增多，并且极限 存在, 则称该极限值为函数 f z( ) 在曲线C上的积分, 0 0 1 lim lim ( ) n n k k k S f z    → → = =   并记作 ( )d , C f z z  即 0 1 ( )d lim ( ) . n k k C k f z z f z   → =  =   如果C是闭曲线，经常记作 ( )d . C f z z  当C是实轴上的区间 a b, , 方向从a到b, 并且 f z( )为实值函数，那么这个积分就是定积分

复212积分存在的条件及积分性质 变 定理21设C是分段光滑(或可求长的有向 嶽曲线,f(x)=(x,y)+iv(x,y)在C上连续,则 与 积 f(x)dk存在,并且 么 变∑f(5△=∑(5,m)△x(5,m)Ay 换 k=1 +位∑v5,m)△4+(5,n)y k=1 f(z d=Ludx-ydy+il vdx +udy

2.1.2 积分存在的条件及积分性质    = = = +  +   =  −  n k k k k k k k n k k k k k k k n k k k i v x u y f z u x v y 1 1 1 [ ( , ) ( , ) ] ( ) [ ( , ) ( , ) ]          C f (z)dz  − C udx vdy d d . C v x u y +  = + i 定理2.1 设C是分段光滑(或可求长)的有向 曲线， f z u x y iv x y ( ) ( , ) ( , ) = + 在C上连续，则 ( )d C f z z  存在，并且

复变函 「f(a)dz=adx-py+i』rx+ady 5从形式上可以看成 积分变换 f(z)d=L(u+iv)(dx+idy) udx +ivd t iudy-vd udx-vdy +i vdx +ud

C f (z)dz  = + + C (u iv)(dx idy)  = + + − C udx ivdx iudy vdy d d d d .   = − + + C C u x v y i v x u y 从形式上可以看成 C f (z)dz  − C udx vdy  + C = + i vdx udy

复 定理22设光滑曲线 变 C:z=3(6=x(t)+iy(t(asts B), 数z(a)是起点,孔6)是终点,则 与 积 f(z)dz=f[z(0)]z'(t)dt =4xOp+叫x(,yo)+的o 换 rPqulx(0, y(O](-vlx(o),y(Oly(o)dt +i VLx(), y()Ix()+ux(o), y(Oly()dt

定理2.2 设光滑曲线 C z z t x t iy t t : ( ) ( ) ( ) ( ), = = +     z( )  是起点, z( )  是终点，则 ( )d [ ( )] ( )d C f z z f z t z t t   =    u x t y t x t v x t y t y t t [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( ) d   = −    i v x t y t x t u x t y t y t t  [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( ) d .    + +    u x t y t iv x t y t x t iy t t [ ( ), ( )] [ ( ), ( )] ( ) ( ) d     = + +   

复变函数的积分具有如下一些性质 复变函数与积兮变换 画(①)J,f(zd f∫(z)dz (2)」4(x)dz=k」f(z)dz(k是复常数; (3)[Uf(x)±8(a)dz=[f(x)dk±[g(k; (4)设C1的终点是C2的起点,C=C1+C2,则 「∫(zk=「。f)z+」。f(xx;

复变函数的积分具有如下一些性质. (1) ( )d ( )d ; C C f z z f z z − = −   (3) [ ( ) ( )]d ( )d ( )d ;     =  C C C f z g z z f z z g z z (4) 设C1的终点是C2的起点, C=C1+C2 , 则 (k是复常数); (2) ( )d ( )d C C kf z z k f z z =   1 2 ( )d ( )d ( )d ; C C C f z z f z z f z z = +   