《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）6.习题课

§6习题课 、主要内容 例题

§6 习题课 一、主要内容 二、例题

主要内容 (一)定积分的定义和性质 ◎(二)定积分的求解 (三)定积分的应用

（一）定积分的定义和性质 （二）定积分的求解 一、主要内容 （三）定积分的应用

问题的提出: 原型1.求曲边梯形的面积 曲边梯形由连续曲线f(x)(f(x)≥0) x轴与两条直线x=a,x=b所围成 s=im∑f(5)x → 原型2求变力所作的功 设质点m受水平力F的作用沿x轴由 点移动到点b:W=im∑F(5x →>0 i=1 方法:分割、近似求和、取极限

问题的提出: 原型1. 求曲边梯形的面积 曲边梯形由连续曲线y=f(x)( f(x)≥0), x轴与两条直线x=a, x=b所围成: = → =  n i i xi S f 1 0 lim ( )  原型2 求变力所作的功 设质点m受水平力F的作用沿x轴由 点a移动到点b: = → =  n i W F i xi 1 0 lim ( )  方法: 分割、近似求和、取极限

定积分的定义 设函数f(x)在|a,b上有界用点a=xo <x1xx2x…<xn1xnb将,b分割成n个 子区间,各子区间的长度为△x=xx1 (i=1,2,,n).在每个子区间上任取一点 (5eAx作乘积x的和式∑f(5)x 记=max{Ax,当地0时,∑f(5x 的极限存在,并且其极限值与[a,的分法

定积分的定义 设函数f(x)在[a,b]上有界,用点a=x0 <x1<x2< ...<xn−1<xn =b将[a,b]分割成n个 子区间, 各子区间的长度为 xi=xi−xi−1 (i=1,2,...,n).在每个子区间上任取一点i (ixi ),作乘积f(i )xi的和式 =  n i i xi f 1 ( ) 记=max{xi },当→0时, =  n i i xi f 1 ( ) 的极限存在,并且其极限值与[a,b]的分法

以及ξ号取法无关,则该极限值称为函数 八x)在区间b上的定积分,记作[f(x)k 即f(xx=lim∑f(5)△r

以及i的取法无关,则该极限值称为函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作 f x dx b a ( ) 即  = → =  n i i i b a f x dx f x 1 0 ( ) lim ( ) 

定积分的几何意义 fx)>0,「f(xhx=S曲边梯形的面积 )<0,,f(xM=-S曲边梯形的面积 的负值 它是介于x轴、函数fx)的图形及其 两条直线x=a,b之间的各部分面积的 代数和在x轴上方的面积取正号;在x轴 下方的面积取负号

定积分的几何意义 f(x)>0, f x dx S b a =  ( ) 曲边梯形的面积 f(x)<0, f x dx S b a = −  ( ) 曲边梯形的面积 的负值 它是介于x轴、函数f(x)的图形及其 两条直线 x=a, x=b之间的各部分面积的 代数和. 在x轴上方的面积取正号;在x轴 下方的面积取负号

存在定理 定理1(可积的必要条件)若函数fx)在 a,b上可积,则(x)在(,b上有界 定理2可积的充分条件若fx)是闭区间 a,b上的连续函数或者是闭区间[a,b上 的单调函数或者是{a,b上只有有限个间 断点的有界函数,则f(x)在,b上可积

存在定理 定理1(可积的必要条件) 若函数f(x)在 [a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界 定理2(可积的充分条件) 若f(x)是闭区间 [a,b]上的连续函数,或者是闭区间[a,b]上 的单调函数,或者是[a,b]上只有有限个间 断点的有界函数,则f(x)在[a,b]上可积

定积分的性质 性质1(x)x=kf(xx(为常数) 性质2 ∫(x)(x)x=Jf(xMt±s(xM 性质3(对积分区间的可加性) S f(xdr= f(xxx+f(rdx 性质4ax=b-a

定积分的性质 kf x dx k f x dx b a b a  ( ) = ( ) (k为常数) f x g x dx f x dx g x dx b a b a b a   [ ( ) ( )] = ( )  ( ) f x dx f x dx f x dx b c c a b a   ( ) = ( ) + ( ) 性质3(对积分区间的可加性) 性质2 性质1 dx b a b a = − 性质  4

性质5若在[a,b(a<b)上f(x)≥0,则 ∫(x)x≥0 性质6(保序性) 若在{a,b(a<b)上f(x)≤g(x),则 ∫(xn≤,8(xMs 性质7(定积分的绝对值不等式) Sf(dx k if(x)dx(a<)

f x dx g x dx b a b a  ( )  ( ) 性质6(保序性) 若在[a,b](a<b)上f(x)≤g(x),则 | f (x)dx | | f (x)|dx (a b) b a b a     性质7(定积分的绝对值不等式) ( )  0  f x dx b a 性质5 若在[a,b] (a<b)上f(x)≥0,则

性质8(有界性)设m,M分别是x)在[a,b 上的最小值和最大值,则 m(b-a)sf(xx≤M(b-a) 性质9(积分中值定理若函数(x)在{a,b 上连续,则在a上至少存在一点使得 Cf(ydx=f(5)(b 积分中值公式

f (x)dx f ( )(b a) b a = −   性质9(积分中值定理) 若函数f(x)在[a,b] 上连续,则在[a,b]上至少存在一点,使得 m(b a) f (x)dx M(b a) b a −   −  性质8(有界性) 设m, M分别是f(x)在[a,b] 上的最小值和最大值,则 ——积分中值公式