《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）5.2.1 换元积分法

§2矛盾转化法 换元积分法与分部积分法 §21换元积分法 第一类积分换元法 第二类积分换元法

§2 矛盾转化法 ——换元积分法与分部积分法 §2.1 换元积分法 一、第一类积分换元法 二、第二类积分换元法

第一类换元法 可题:」cosx=simx+C cos 2xdx sin2x+C 解决方法:利用复合函数设置中间变量 令2x→=1d cos 2xdx cos tdt=sint+c =sin2x+c

=sin2x+C 一、第一类换元法 xdx = x +C  问题: cos sin  cos2xdx ? 解决方法:利用复合函数,设置中间变量 令t=2x dx dt 2 1  =  cos2xdx  = costdt 2 1 = sint + C 2 1 = sin2x + C 2 1

在一般情况下: 设F(4)(u)→f(a)=F(a)+C 如果u=q(x)(可微) dFl( x)flo lp(x)dx flo(x)lo(xdx=Fio(x)l+C f(udu 由此可得换元法定理:

在一般情况下: 设F (u)=f(u)  f u du = F u +C  ( ) ( ) 如果u= (x) (可微) ∵dF[ (x)]=f [ (x)] (x)dx  f x  x dx = F x +C  [( )] ( ) [( )]  f (u)du = 由此可得换元法定理:

定理1设fu)具有原函数,l=g(x)可导, 则有换元公式 flo()lp'(x)dx=f(u)du 第一类换元公式(凑微分法) 说明:使用此公式的关键在于将 ∫g(x)dx化为∫(x)(xk

设f(u)具有原函数, u= (x)可导, 则有换元公式 定理1   f[(x)](x)dx = f (u)du 第一类换元公式 (凑微分法) 说明: 使用此公式的关键在于将  g(x)dx 化为  f[(x)](x)dx

例1求sin2xdx 解:原式=|sin2xd(2x)=-cos2x+C 另解:原式=2」 inx cos 2 sin xd(sin x)=(sinx)2+C 另解2:原式=2 sin x cos xdx -2 cos xd(cos x)=-(cosx)2+C 观察重点不同,所得结论不同

例1 求 xdx  sin2 解: 原式=  sin2 (2 ) 2 1 xd x = − cos 2x +C 2 1 另解: 原式= x xdx  2 sin cos 2 sin xd(sin x)  = =(sinx) 2+C 另解2:原式= x xdx  2 sin cos 2 cos xd(cos x)  = − = −(cosx) 2+C 观察重点不同,所得结论不同

例2求 3+2x 解:原式 3+2x d(2x) 2J3+2x l(3+2x) (令l=3+2x) 121212 n||+C ln|3+2x|+C

例2 求 dx x  3 + 2 1 解: 原式= (2 ) 3 2 1 2 1 d x x  + (3 2 ) 3 2 1 2 1 d x x + + =  du u  = 1 2 1 = ln | u | +C 2 1 = ln | 3 + 2x | +C 2 1 (令u=3+2x)

例3求 x(1+2In x) 解:原式 -d(n x) 1+2Inx 2J1+2Inx -d(+2In x 1(令v=1+lnx) 21212 =In u+c =1l|1+2mx|+C

例3 求 dx x x  (1+ 2ln ) 1 解: 原式= (ln ) 1 2ln 1 d x x  + (1 2ln ) 1 2ln 1 2 1 d x x + + =  du (令u=1+2lnx) u  = 1 2 1 = ln | u | +C 2 1 = ln |1+ 2ln x | +C 2 1

例4求 (1+x) 解:原式 y+1-1 (1+x)3 (1+x)3(+砂少h x+1 k(1+x) 1+x) (1+x) 1+x2(1+以+C 十

例4 求 dx x x  + 3 (1 ) 解: 原式= dx x x  + + − 3 (1 ) 1 1 dx x x x  + − + + = ] (1 ) 1 (1 ) 1 [ 3 3 ] (1 ) (1 ) 1 (1 ) 1 [ 2 3 d x x x + + − + =  C x x + + + + = − 2 2(1 ) 1 1 1

例5求 2 2 a+x 解:原式=12 y 2 1+2 d( a1+(x)2a arctan s+c

例5 求 dx a x  + 2 2 1 解: 原式= dx a a x  + 2 2 2 1 1 1 ( ) 1 ( ) 1 1 2 a x d a a x  + = C a x a = arctan + 1

例6求 2-8+25 解:原式 (x-4)+9 3 +1 3 3 arctan x-4 3 3+C

例6 求 dx x x  − 8 + 25 1 2 解: 原式= dx x  ( − 4) + 9 1 2 dx x  + − = ) 1 3 4 ( 1 3 1 2 2 ) 3 4 ( ) 1 3 4 ( 1 3 1 2 − + − =  x d x C x + − = 3 4 arctan 3 1