《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）5.1.3 不定积分的线性运算法则

§13不定积分的线性运算法则 (1)[f(x)±g(x)x=f(x)dx±g(x)hx f(x)dx±|g(x)dxl =f(x)x±「g(x) =(x)士g(x) 可推广到有限多个函数的代数和的情形

§1.3 不定积分的线性运算法则    (1) [ f (x) g(x)]dx = f (x)dx  g(x)dx [ ( )  ( ) ]    f x dx g x dx = [ ( ) ] [ ( ) ]   f x dx g x dx =f(x)g(x) 可推广到有限多个函数的代数和的情形

(2) kf(x dx=k f(e)dx (k是常数,k≠0) 由不定积分的线性运算法则和基本 积分公式求函数的不定积分的方法称为 直接积分法

  (2) kf (x)dx = k f (x)dx (k是常数, k0) 由不定积分的线性运算法则和基本 积分公式求函数的不定积分的方法称为 直接积分法

例1求积分 3 Ddx 1+y 2 2 解:」( 3 1+x 2 2 3 dx 2 2 =3arctanx-2arcsinx+C

例1 求积分  − − + dx x x ) 1 2 1 3 ( 2 2 解:  − − + dx x x ) 1 2 1 3 ( 2 2   − − + = dx x dx x 2 2 1 1 2 1 1 3 =3arctanx −2arcsinx+C

例2求积分 1+x+x x(1+x2) 2 解:原式nx+ 1+x )x(1+x +1)dx 1+x dx+du 1+x =arctan+In/x+C

例2 求积分  + + + dx x x x x (1 ) 1 2 2 解:  + + + + dx x x x x x x ] (1 ) 1 (1 ) [ 2 2 2  + + = dx x x ) 1 1 1 ( 2   + + = dx x dx x 1 1 1 2 =arctanx+ln|x|+C 原式=

例3求积分∫1+22d 解:原式 1+x2+x 2 2 2 「 1+x 2 x2(1+x) r(+x2)ld dx+ 2 1 +arctan+c

例3 求积分  + + dx x x x (1 ) 1 2 2 2 2 解: 原式=  + + + dx x x x x (1 ) 1 2 2 2 2   + = + dx x dx x 2 2 1 1 1 x C x = − + arctan + 1  + + + + = dx x x x x x x ] (1 ) (1 ) 1 [ 2 2 2 2 2 2

例4求积分 1+ cos 2x 解:原式 dx 1+2cos2x-1 cos x =tanx+c

例4 求积分  + dx 1 cos 2x 1 解: 原式=  + − dx 1 2cos x 1 1 2  = dx x 2 cos 1 2 1 = tan x + C 2 1

例5已知一曲线y=fx)在点(x,fx)处的 切线斜率为sec2x+sinx,且此曲线与y轴的 交点为(0,5),求此曲线的方程 解:y=sec2x+sinx →y=(ecx+sinx)x -tanx--cosx+C 又f(0)=5→C=6 所求曲线方程为 y=tanx-csx+6

例5 已知一曲线 y=f(x)在点(x, f(x))处的 切线斜率为sec2x+sinx,且此曲线与y轴的 交点为(0, 5),求此曲线的方程 解: y=sec2x+sinx   y = (sec x + sin x)dx 2 =tanx−cosx+C 又 f(0)=5 C=6 所求曲线方程为 y=tanx−cosx+6