《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）2.3.2 初等函数的连续性

s32初等函数的连续性 一、连续函数的四则运算 反函数和复合函数的连续性 、初等函数的连续性

§3.2 初等函数的连续性 一、连续函数的四则运算 二、反函数和复合函数的连续性 三、初等函数的连续性

连续函数的四则运算 若函数fx,g(x)在点x处连续,则 f(x)g(x),j(x)8(xf(x)(g(x0)=0)在 点x处也连续 例如,sinx,cosx在(-∞,+∞)内连续 故tanx,cotx, secr,cscx在其定义域内 连续

(g(x0 )0) 在 点x0处也连续 一、连续函数的四则运算 若函数f(x), g(x)在点x0处连续,则 f(x)g(x), f(x)g(x), ( ) ( ) g x f x 例如，sinx, cosx在(−,+)内连续 故tanx, cotx, secx, cscx在其定义域内 连续

、反函数和复合函数的连续性 定理1单调连续函数的反函数仍是单调 连续函数 例如,y=sin在[-π/2,π/2上单调增加且连 续 故y= arcsinx在[-1,1上也单调增加且连续 同理y= arccos在[1,1上单调减少且连续 arctan,y= arccot在(-∞,+∞)上单 调且连续

二、反函数和复合函数的连续性 定理1 单调连续函数的反函数仍是单调 连续函数 例如, y=sinx在[−/2, /2]上单调增加且连 续 故y=arcsinx在[−1,1]上也单调增加且连续 同理y=arccosx在[−1,1]上单调减少且连续 y=arctanx, y=arccotx在(−,+)上单 调且连续

定理2连续函数的复合函数仍是连续函数 例如,u=1在(,0(0,+∞)内连续 y=sin在(-∞,+∞)内连续 p=sin1在(-∞,0(0,+∞)连续

定理2 连续函数的复合函数仍是连续函数 例如, x u 1 = 在(−,0)∪(0,+)内连续 y=sinu在(−,+)内连续 x y 1  = sin 在(−,0)∪(0,+)内连续

初等函数的连续性 常数函数、三角函数及反三角函数 在它们的定义域内是连续的 指数函数y=a(a>0,a≠1)在(-∞,+) 内单调且连续 对数函数y=ogx(>0,a≠1)在(0,+o) 内单调且连续

三、初等函数的连续性 常数函数、三角函数及反三角函数 在它们的定义域内是连续的. 指数函数y=a x (a>0,a1)在(−,+) 内单调且连续 对数函数y=logax (a>0,a1)在(0,+) 内单调且连续

幂函数y=x=aax 而y=a,l=山dogn在(0,+∞)内连续 讨论不同值函数均在其定义域内连续 可知,所有基本初等函数在其有定义 的区间内连续 进一步,初等函数在其有定义的区间 内连续

幂函数y=x  a x a log = 而y=a u , u=logax在(0,+)内连续 讨论不同值,幂函数均在其定义域内连续 可知, 所有基本初等函数在其有定义 的区间内连续 进一步, 初等函数在其有定义的区间 内连续

例1求 lim sin√ex-1 解:y=sin√e-1是初等函数在点 x。=1处有定义 故在x2=1处连续 由连续函数求极限的法则有 原式= sin ve-1=sine-1

是初等函数,在点 x0=1处有定义 例1 求 lim sin 1 1 − → x x e 解： 原式= sin 1 1 e − = sin e −1 = sin −1 x  y e 故在x0=1处连续 由连续函数求极限的法则,有

思考题 a+x x 已知fx)在x=0处连续,试确定a和b的值 答案:(a=1,b=e)

思考题 设      + +  = +  = ln( ), 0 1, 0 , 0 ( ) 2 2 b x x x x a x x f x 已知f(x)在x=0处连续, 试确定a和b的值 答案：(a=1,b=e)