《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）4.1.2 中值定理（拉格朗日）

§12中值定理(拉格朗日) 、拉格朗日中值定理 、罗尔定理

§1.2 中值定理(拉格朗日) 一、拉格朗日中值定理 二、罗尔定理

拉格朗日中值定理 如果函数(x满足 (1)在闭区间[an,b上连续 (2)在开区间(an,b)内可导 那么在开区间(a,b)内至少存在一点, 使得 f(b)-f(a) b-a =f()(5∈(a,6) 此公式称为拉格朗日公式

拉格朗日中值定理 如果函数f(x)满足 (1)在闭区间[a, b]上连续 (2)在开区间(a, b)内可导 那么在开区间(a,b)内至少存在一点 , 使得 ( ) ( ) ( ) f  b a f b f a =  − − ((a,b)) 此公式称为拉格朗日公式

几何解释: f(b)-∫(a) b =f(2 ff(x)B s2b x 在曲线弧AB上至少有一点C,在该 点处的切线平行于弦AB

D 2 几何解释: A y o a x b C y=f(x) B 1 在曲线弧AB上至少有一点C,在该 点处的切线平行于弦AB ( ) ( ) ( ) f  b a f b f a =  − −

∫(b)-∫(a) b f'(4) 函数在区间[a,b内点处函数的 上整体变化的平局部变化率 均变化率 可见拉格朗日公式精确地表达了 函数在一个区间上的增量与函数在这 区间内某点处的导数之间的关系

( ) ( ) ( ) f  b a f b f a =  − − 函数在区间[a, b] 上整体变化的平 均变化率 内点处函数的 局部变化率 可见,拉格朗日公式精确地表达了 函数在一个区间上的增量与函数在这 区间内某点处的导数之间的关系

推论:如果函数fx)在区间(a,b)内的导数 恒为零,那么八x)是区间(a,b)内的常数函 数,即导数为零的函数是常数函数 证]设x1,x2是(a,b)内的任意两点 且x1<x2 ∵f(x)在(a,b)内可导 fx)在x1,x内连续,在(x1,x2)内可导 由拉格朗日定理有

如果函数f(x)在区间(a, b)内的导数 恒为零, 那么f(x)是区间(a, b)内的常数函 数 推论: [证] 设x1 , x2是(a, b)内的任意两点 且 x1<x2 ∵ f(x)在(a, b)内可导 ∴ f(x)在[x1 , x2 ]内连续,在(x1 , x2 )内可导 由拉格朗日定理,有 ,即导数为零的函数是常数函数

f(x2)-f(x1) =f() 由已知有,f(=0 则fx1)=f(x2) 由x1,x2的任意性, fx)是(a,b)内的常数函数

( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 f  x x f x f x =  − − 由已知有, f ()=0 则 f(x1 )=f(x2 ) 由x1 , x2的任意性, f(x)是(a, b)内的常数函数

罗尔定理 如果函数(x满足 (1)在闭区间[an,b上连续 (2)在开区间(an,b)内可导 3)f(a)=f(b) 那么在开区间(a,)内至少存在一点与 使得f(2=0

罗尔定理 如果函数f(x)满足 (1)在闭区间[a, b]上连续 (2)在开区间(a, b)内可导 那么在开区间(a,b)内至少存在一点, 使得f ()=0 (3) f(a)=f(b)

几何解释: f(b)-∫(a) b f∫(5) y-f(r) 在曲线弧AB上至少有一点C,在该 点处的切线是水平的

几何解释: C 在曲线弧AB上至少有一点C,在该 点处的切线是水平的 1 D 2 A y o a b x B y=f(x) ( ) ( ) ( ) f  b a f b f a =  − −

例1证明 arcsinx+ arccos=(-1≤x≤1) 证]设fx)= arcsinx+ arccos,x∈[1,1 f(x)=-n1xz+(-n1;) 1-x2)(x∈(-1,1) =0 fx)=C,x∈(-1,1) 又∫(0)= arcsin0+ arccos0 →C=2 2 2 f(#D=arcsin(tD-arccos(tD=2 arcsin x十 arccos x

例1 证明arcsinx+arccosx = 2  (−1≤x≤1) [证] 设f(x)=arcsinx+arccosx, x[−1,1] ) 1 1 ( 1 1 ( ) 2 2 x x f x − + − −   = =0 ∴ f(x)C, x(−1,1) 又 f(0)=arcsin0+arccos0 2  = 2   C = 2 arcsin arccos   x + x = (x(−1,1)) f(1)=arcsin(1)+arccos(1) 2  =

例2已知“0+ +-2+… 23 ,应用 罗尔定理,证明方程a0+a1+a2x2+…+anx=0 在(0,1)内至少有一实根 「证]设 f(x=aoxtx'+ +…+nyn+1 23 3 +1 则(x)在[0,1连续,在(0,1)内可导 且f(0)=0,f(1)=0 由罗尔定理有彐∈(0,1,使f'(=0 即ao+a1+a2+…+an2=0命题得证

例2 已知 ,应用 罗尔定理,证明方程a0+a1x+a2x 2+...+anx n=0 在(0,1)内至少有一实根 [证] 设 则f(x)在[0,1]连续 且 f(0)=0, f(1)=0 (0,1),使 f ()=0 0 2 3 1 1 2 0 = + + + + + n a a a a  n 1 2 2 3 1 0 2 3 1 ( ) + + = + + + + n n x n a x a x a f x a x  ,在(0,1)内可导 由罗尔定理,有 即a0+a1+a2 2+...+an n=0 命题得证