东北大学：《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第六章 积分变换的预备知识

复 变 第六章积分变换的预备知识 数 与 积 §6.1几个典型函数 分 变 §6.2卷积的概念与性质 换

第六章 积分变换的预备知识

复变数与积 主要内容 本章介绍几个以后经常要用到的典型 变的函数,以及函数的卷积和序列的卷积, 换

本章介绍几个以后经常要用到的典型 的函数，以及函数的卷积和序列的卷积

复变函数与积兮变换 §6.1几个典型函数 1单位阶跃函数 2矩形脉冲函数 3δ函数

1 单位阶跃函数 2 矩形脉冲函数 §6.1 几个典型函数 3 d 函数

6.1.1单位阶跃函数 复变函数与积分变一 单位阶跃函数(简称阶跃函数,又称 Heaviside 函数定义为 t>0: () 0,t<0. 换显然以(0在口处从跃变为1 l() 延迟t的阶跃函数为 0 ult-t lO, t<to

O t u(t) 0 t . O t u(t) 6.1.1 单位阶跃函数 单位阶跃函数(简称阶跃函数, 又称Heaviside 函数)定义为 1, 0; ( ) 0, 0. t u t t       显然, u(t)在t=0处从0跃变为1. 延迟t0的阶跃函数为 0 0 0 1, ; ( ) 0, . t t u t t t t       

复 利用阶跃函数可以将分段函数用一个表达式 变表示例如设 数与积 x1(t),tto 变于是可以用阶跃函数表示为 换 x(r)=x1(D)1-u(t)+x2()[u()-(t-t0 +x3(t)u(t-to =x1(D)+x2()-x1(D)u()+[x3(t)-x2OD)u(t-t0

利用阶跃函数可以将分段函数用一个表达式 表示. 例如设 1 2 0 3 0 ( ), 0; ( ) ( ), 0 ; ( ), . x t t x t x t t t x t t t           于是可以用阶跃函数表示为 1 2 0 x(t)  x (t)[1  u(t)] x (t)[u(t)  u(t  t )] 1 2 1 3 2 0  x (t)  [x (t)  x (t)]u(t)  [x (t)  x (t)]u(t  t ). 3 0  x (t)u(t  t )

6.1.2矩形脉冲函数 复变函数与积兮变换 宽度为τ,幅度为E(E>0)的矩形脉冲函数为 E P2(t)= T2T2

6.1.2 矩形脉冲函数 宽度为t , 幅度为E(E  0)的矩形脉冲函数为 , ; 2 ( ) 0, t . 2 E t p t t t t         o t 2 t 2 t E p (t) t . .

6.1.38函数 复变函 在物理学和工程技术中,除了连续分布量之外, 数还有集中作用在一点的量例如,点电荷、点热源、 与质点、单位脉冲等.下面分析在原点处分布单位质 量的情况 变换 如果一单位质量的物质均匀分布在原点的闭邻 域6,引之内,这时6,引内的每一点的密度Pe Pa(x)=2e xE[-E,el 0,xg[-E,圳

6.1.3 d 函数 在物理学和工程技术中, 除了连续分布量之外， 还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处分布单位质 量的情况. 如果一单位质量的物质均匀分布在原点的闭邻 域[-e ,e]之内, 这时[-e ,e]内的每一点的密度 1 , 2 e e  1 , [ , ]; ( ) 2 0, [ , ]. x x x e e e  e e e          

复变 很自然,原点处分布单位质量的质点情形可认 副为是上述情形当E→0时的极眼并用6(x)表示密 刻度分布的极限在直观上可以看作 与积分变换 6(x) 0.x≠0. 根据密度的定义,密度函数在区间内的积分应 该是在此区间上分布的总质量.因此,应有 ∫c δ(x)dx=1

很自然, 原点处分布单位质量的质点情形可认 为是上述情形当 e  0  时的极限, 并用d (x)表示密 度分布的极限. 在直观上可以看作 , 0; ( ) 0, 0. x x x d       根据密度的定义，密度函数在区间内的积分应 该是在此区间上分布的总质量. 因此，应有 d (x)dx 1.    

针对这类问题,20世纪30年代,英国物理学家 复变函数与积分变一 Dirac引进了满足以上性质的“函数”,称为“δ函数 嶽并且要求对任何连续函数f(x),都有 6(x)f(x)dx=∫(0) 但是,从古典意义下的函数积分概念来看,这 换些都是不合理的因为∞不是确定的数,它表明变量 的变化趋势,所以,δ(0)=+∞无意义.而积分值与函 数在个别点的值无关,这样,除一点外,处处为零的

针对这类问题, 20世纪30年代, 英国物理学家 Dirac引进了满足以上性质的“函数” , 称为“d 函数” , 并且要求对任何连续函数f (x), 都有 d (x) f (x)dx f (0).     但是, 从古典意义下的函数积分概念来看, 这 些都是不合理的. 因为不是确定的数, 它表明变量 的变化趋势, 所以, d (0)=+无意义. 而积分值与函 数在个别点的值无关, 这样, 除一点外, 处处为零的

复函数积分也应为零从而,δ函数的上述性质在古典 变 意义下都不可能成立,也是不合理的因此在很长 赵一段时期,⑧函数没有被数学家们接受但以 Dirac 与 利为代表的物理学家们继续使用这个“怪”函数因为 这个结论完全符合物理实验的结果,物理学家们觉得 变 换它是一个“很好用”的有力工具.直到20世纪50年代 法国数学家 L Shwartz建立了广义函数的理论.在他 的理论中,δ函数已不是通常意义下的函数而属于

函数积分也应为零. 从而, d 函数的上述性质在古典 意义下都不可能成立, 也是不合理的. 因此, 在很长 一段时期, d 函数没有被数学家们接受. 但以 Dirac 为代表的物理学家们继续使用这个“怪”函数. 因为 这个结论完全符合物理实验的结果, 物理学家们觉得 它是一个“很好用” 的有力工具. 直到20世纪50年代， 法国数学家L. Shwartz建立了广义函数的理论. 在他 的理论中，d 函数已不是通常意义下的函数, 而属于