东北大学：《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第四章 留数及其应用

复变函数与积兮变换 第四章留数及其应用 §4.1孤立奇点 §4.2留数的一般理论 §4.3函数在无穷远点的留数 §4.4留数的应用

第四章 留数及其应用 §4.1 孤立奇点 §4.2 留数的一般理论 §4.3 函数在无穷远点的留数 §4.4 留数的应用

复变面数与积 主要内容 本章介绍孤立奇点、留数的概念; 变孤立奇点处留数的计算:并将其应用于 换实函数积分的计算

主 要 内 容 本章介绍孤立奇点、留数的概念； 孤立奇点处留数的计算；并将其应用于 实函数积分的计算

复变函数与积兮变换 84.1孤立奇点 1可去奇点 2极点 3本性奇点

§4.1 孤立奇点 1 可去奇点 2 极点 3 本性奇点

本章将利用函数的 Lauren级数展开式研究 复变面数与积 变函数在孤立奇点处的性质 如果函数∫()在动点不解析,则称z是f(z)的 个奇点如果a是f(z)的一个奇点,且存在δ>0, 分使得/(在0<z-动<6解析,则称a是f()的 变孤立奇点 换 SInz 例如x=0是函数e和—的孤立奇点但z=0 不是函数“的孤立奇点,因为(k=土1,+2,…) SIn 都是奇点

本章将利用函数的Laurent级数展开式研究 函数在孤立奇点处的性质. 如果函数 f (z)在z0点不解析, 则称z0 是f (z)的 一个奇点. 如果z0 是f (z)的一个奇点, 且存在d >0, 使得f (z)在 内解析，则称z 0  −  z z0 d 0 是f (z)的 孤立奇点. 例如z=0是函数 和 的孤立奇点. 但z=0 1 z e sin z z 都是奇点. 不是函数 的孤立奇点, 因为 1 ( 1, 2, ) k k =   1 sin z z

复 若是∫(z)的孤立奇点,此时f(z)在圆环域 变0<-k-列<内解析根据 Laurent级数展开定理, 则f(可以展开为 Laurent级数 与 f(l)=∑cn(z-zn 积 n=-0 变其中cn=1 么 f(z) n+1 dz(n=0,±1,±2,…),C是 2ri(z-zo) 换 为中心,半径小于δ的圆周的正向 根据 Lauren级数展开式的系数cn的不同情况, 可以把f(z)的孤立奇点进行分类

则f (z)可以展开为Laurent级数 0 ( ) ( ) , n n n f z c z z  =− = −  其中 1 0 1 ( ) d ( 0, 1, 2, ), 2 ( ) n n C f z c z n  i z z + = =   −  C是 z0为中心, 半径小于d 的圆周的正向. 根据Laurent级数展开式的系数cn的不同情况, 可以把 f (z)的孤立奇点进行分类. 若z0 是 f (z)的孤立奇点，此时f (z) 在圆环域 0 0  −  z z d 内解析, 根据Laurent级数展开定理

4.1.1可去奇点 复变函数与积分变换 定义41如果f(在0<z-an<δ内的 Laurent 数级数中不含有z-的负幂项,即当n=-1,-2,-3, 时,Cn=0,则称动是∫()的可去奇点 此时 f(z)=co+c1(z-)+…+Cn(z-)”+ )这个幂级数的收敛半径至少为8,和函数q()在 处解析

4.1.1 可去奇点 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) . n n f z c c z z c z z = + − + + − + 定义4.1 如果f (z)在 内的Laurent 0 0  −  z z d 级数中不含有 z z − 0 的负幂项, 即当 n = − − − 1, 2, 3, 时, 则称z 0, 0是 f (z)的可去奇点. n c = 此时 这个幂级数的收敛半径至少为d , 和函数j (z)在z0 处解析

复 无论∫(z)在是否有定义,可定义 变 f(zo)=Co=limf(a=P(zo), 刻则在z-x<δ内∫()=叭(x)解析 与 积 反之,若∫(z)在0<z-<δ内解析,且极限 变=m()存在,则是/(a)的可去奇点 换 事实上:由于lim∫(z)存在,函数f(z)在点 某个去心邻域内有界,即存在两个正数M和r, 使得在0<-≤r内,有f(z)≤M

无论 f (z)在z0是否有定义, 可定义 反之, 若 f (z) 在 0  z − z0  d 内解析, 且极限 lim ( ) 0 f z z→z 存在，则 z0 是 f (z) 的可去奇点. 0 0 0 0 ( ) lim ( ) ( ), z z f z c f z z j → = = = 则在 −  d 内 解析. 0 z z f z z ( ) ( )  j 事实上: 由于 存在, 函数 f (z)在 z0 点 0 lim ( ) z z f z → 某个去心邻域内有界，即存在两个正数 M 和 r<d , 使得在 0  −  z z r 0 内，有 f z M ( ) . 

又因为f(a)在00,得Cn=0

又因为f (z)在 0  −  z z0 d 内解析, 所以 0 ( ) ( ) , n n n f z c z z  =− = −  其中 1 0 1 ( ) d ( 0, 1, 2, ), 2 ( ) n n C f z c z n i z z   + = =   −  并且 1 1 0 1 ( ) d 2 . 2 ( ) 2 n n n n c f z M M c z i z z      + + =  = −  C z z r  : − =  0  取正向. 于是根据 估值不等式 设曲线C的长度为L, 函数f (z)在C上满足 ( )d ( ) d . C C f z z f z s ML   f z M ( ) ,  则   估值不等式 当n为负整数时, 令 →0, 得 0. n c =

复 定理41设f(4)在0<z-z<δ内解析,则 变z是厂(2)的可去奇点的充分必要条件是存在极限 数!limf(z)=C,其中c0是有限复常数 与 积 这样我们有两种方法来判别函数f()的奇点 安/是否为可去奇点 换1.由定义判断:如果(在a的 Laurent级数无负 幂项,则是f(的可去奇点 2.由极限判断:若极限imf(x)存在且为有限值, 则是f(2的可去奇点

定理4.1 设f (z)在 0  −  z z0 d 内解析, 则 z0 是 f (z) 的可去奇点的充分必要条件是存在极限 0 0 lim ( ) , z z f z c → = 其中c0是有限复常数. 这样我们有两种方法来判别函数f (z)的奇点 z0是否为可去奇点. 1.由定义判断: 如果f (z)在z0的Laurent 级数无负 幂项, 则z0是f (z)的可去奇点. 2. 由极限判断：若极限 存在且为有限值, lim ( ) 0 f z z→z 则z0是f (z)的可去奇点

例4.1因为在0<k<+∞内的展开式为 复变函数与积兮变换 SInz =1--z+z-…, 3!5 无负幂项 分或者im SInz =1,所以z0是 SInz 的可去奇点 z-0 SInz 如果补充定义:f()=2,≠0 1,z=0 则f(z)在全平面解析

如果补充定义: sin 1 1 2 4 1 , 3! 5! z z z z = − + − 所以z=0是 z sin z 的可去奇点 . 例4.1 因为 在 内的展开式为 sin z z 0   + z 无负幂项 0 sin lim 1, z z → z 或者 = sin , 0; ( ) 1, 0, z z f z z z    =    = 则f (z)在全平面解析