东北大学：《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第三章 复变函数的级数

复变函数与积兮变换 第三章复变函数的级数 §3.1复数项级数 §3.2幂级数 §3.3 Taylor级数 §3.4 Laurent级数 §3.5调和函数

第三章 复变函数的级数 §3.1 复数项级数 §3.2 幂 级 数 §3.3 Taylor级数 §3.4 Laurent级数 §3.5 调和函数

复变面数与积 主要内容 本章介绍复变函数级数的概念,重点 安是 Taylor:级数、 laurent级数及其展开最 换后讨论解析函数与调和函数的关系

主 要 内 容 本章介绍复变函数级数的概念,重点 是Taylor级数、Laurent级数及其展开.最 后讨论解析函数与调和函数的关系

复变函数与积兮变换 §31复数项级数 1复数列的极限 2复数项级数

1 复数列的极限 2 复数项级数 §3.1 复数项级数

3.11复数列的极限 复变面数与积 称an=an+沥(n=1,2,3,…)为复数列,简称 为数列,记为{an} 定义31设{an}是数列,a=a+是常数 么 变如果Va>0,存在正整数N使得当n>N时,不等式 换 an-<G成立,则称当n→∞时,{an}收敛于a, 或称∝是{an}的极限,记作 iman=a,或an→a(n→∞) n→)0

3.1.1 复数列的极限 称 n n n = + = a ib n( 1,2,3, ) 为复数列, 简称 为数列, 记为  .  n 定义3.1 设  n 是数列，  = + a ib 是常数. 如果e >0, 存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式   e n −  成立, 则称当n→时, an 收敛于 , 或称  是  n 的极限, 记作 lim , n n   → = 或 . ( )   n → →  n

复复数列收敛与实数列收敛的关系 变函数与积 定理3 1 lima=a的充分必要条件是 lima =a. limb.=b n→0 n→0 证明如果 lim a=a,则VE>0,存在正整数N, 么 n→0 变使得当nN时,|an+i)-(a+b)<E.从而有 换 an-as(an -a)+i(b-b)<e, 即 lima=a.同理 limb=b n→0 n-0

复数列收敛与实数列收敛的关系 lima a, limb b . n n n n = = → → a − a  (a − a) + i(b − b)  e , n n n lima a. n n = → 即 limb b. n n = → 同理 定理3.1 lim n n   → = 的充分必要条件是 证明 如果 则   e 0, 存在正整数N, lim , n n   → = 使得当n>N 时, ( ) ( ) . a ib a ib n n + − +  e 从而有

反之,如果 lima=, limb=b,那么VE>0, 复变数与 n→0 存在正整数N,使得当n>N时, n 2 积从而有 么 变换 a-a=(a-a)+i(bn-b)sa-a+bm -b< 所以 lim a=a ● n→0 该结论说明:判别复数列的敛散性可转化为判别 两个实数列的敛散性

. 2 , 2 e e an − a  bn − b  从而有 ( ) ( ) . n n n n n   e − = − + −  − + −  a a i b b a a b b 该结论说明: 判别复数列的敛散性可转化为判别 两个实数列的敛散性. 反之, 如果 lim , lim , n n → → a a b b n n = = 那么   e 0, 存在正整数N, 使得当n>N 时, 所以 lim . n n   → =

3.12复数项级数 复变面数与积 设{an}={an+i}是复数列,则称 ∑ cn=c1+c+…+n+ 么 安为复数项级数称 换 ∑ Cn=1+c,+∴+C =1 为该级数的前n项部分和

3.1.2 复数项级数  = + ++ +  = n n n 1 2  1 为复数项级数.称 n n k Sn = k =  + + + = 1 2  1 为该级数的前 n 项部分和. 设 n n n  = + a ib  是复数列, 则称

复级数收敛与发散的概念 变函数与积 定义32如果级数 ∑ Cn=01++…+Cn+ H-=1 分的部分和数列{Sn}收敛于复数S则称级数收敛, 变这时称S为级数的和并记做 换 oo ∑an=S ⑦如果{S}不收敛,则称级数发散

级数收敛与发散的概念 定义3.2 如果级数  = + ++ +  = n n n 1 2  1 的部分和数列 Sn 收敛于复数 S, 则称级数收敛, 这时称S为级数的和, 并记做 1 . n n  S  =  = 如果Sn不收敛，则称级数发散

复复数项级数与实数项级数收敛的关系 定理32级数∑an=∑(an+沥b)收敛的充要 变函数与积分变换 H-=1 H=1 刮条件是∑u,∑都收做并且 之n=∠an+ n nE 证明由S=∑a+∑b,及定理3,易证 k=1 k=1 说明复数项级数的收敛问题 两个实数项级数的收敛问题

复数项级数与实数项级数收敛的关系 定理3.2 级数 收敛的充要 1 1 ( ) n n n n n  a ib   = =  = + 条件是 都收敛, 并且 1 1 , n n n n a b   = =   1 1 1 . n n n n n n  a i b    = = =    = + 证明 由 及定理3.1, 易证. 1 1 , n n n k k k k S a i b = = = +   说明 复数项级数的收敛问题  两个实数项级数的收敛问题

复变面数与积 练习级数∑1+是否收敛? n=1 n 解因为级数 co ao ∑an=∑ 么 n 变发散,而级数 换 ∑bn=∑ n 收敛所以原复数项级数发散

解 因为级数 2 1 1 1 n n n b n   = =  = 收敛, 所以原复数项级数发散. 练习 级数 是否收敛? 1 1 1 n i n n  =     +    1 1 1 n n n a n   = =  = 发散, 而级数