东北大学：《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第八章 Laplace变换

复变数与积分变换 第八章 Laplace变换 §8.1 Laplace变换的概念 §8.2 Laplace变换的性质 §8.3 Laplace逆变换 §8.4 Laplace变换的应用

第八章 Laplace变换

复变数与积 主要内容 本章介绍 Laplace变换的概念、性质 变以及 aplace逆变换最后给出 Laplace变 换一些应用的例子

本章介绍Laplace变换的概念、性质 以及Laplace逆变换.最后给出Laplace变 换一些应用的例子

复变数 Fourier变换在许多领域中发挥着重要的作用, 画但是在通常意义下, Fourier变换存在的条件需要 5实函数/0在(+)上绝对可积很多常见的初等 积函数(例如,常数函数、多项式函数、正弦与余弦 函数等都不满足这个要求另外,很多以时间为 变 换为自变量的函数,当0时,往往没有定义,或者 不需要知道κ0的情况.因此, Fourier变换在实际 G应用中受到一些限制

Fourier变换在许多领域中发挥着重要的作用, 但是在通常意义下，Fourier变换存在的条件需要 实函数f (t)在(-,+)上绝对可积. 很多常见的初等 函数(例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦 函数等)都不满足这个要求. 另外，很多以时间t 为 为自变量的函数，当t<0时，往往没有定义，或者 不需要知道t<0的情况. 因此, Fourier变换在实际 应用中受到一些限制

当函数f(2)在0)

当函数f (t)在t<0时没有定义或者不需要知 道时, 可以认为当t<0时, f (t)0. 这时, Fourier 变换的表达式为 0 [ ( )] ( ) d . i t f t f t e t      F 但是仍然需要f (t)在[0,)上绝对可积的条件， 这个要求限制了它的应用. 对定义在[0,)上的函数 f (t), 如果考虑 1( ) ( ) ( 0), t f t f t e     

复 那么f1(t)容易满足在|0,+)上绝对可积的 变要求例如,f()为常数、多项式、正弦与余弦 数函数时, 与 f(t)=f(te p(b> 积 分都在0,+∞)上绝对可积这是因为t→+∞时,eB 变 换是衰减速度很快的函数,称它为指数衰减函数 如果β>0取得适当大,那么 f1(t) ∫f()l,t≥0 t<0

那么 1f (t) 容易满足在 [0,)上绝对可积的 要求. 例如，f (t)为常数、多项式、正弦与余弦 函数时, 1( ) ( ) ( 0) t f t f t e      都在[0,)上绝对可积. 这是因为 t   时, t e   是衰减速度很快的函数，称它为指数衰减函数. 如果   0 取得适当大，那么 1 ( ) , 0 ( ) 0, 0 t f t e t f t t        

复的 Fourier变换可能有意义f()的 Fourier变换 变可表示为 数与积分变 f(t) e o dt=.f(t)e (B+io)t 将B+io记为s,可写成 ∫n ∫(t)es"d 换这就是本章要讨论的 Laplace变换,它放宽了对函 数的限制并使之更适合工程实际,并且仍然保留 Fourier变换中许多好的性质,更实用、更方便

的Fourier变换可能有意义. 1f (t)的Fourier变换 可表示为 ( ) 0 0 ( ) d ( ) d . t i t i t f t e e t f t e t              将   i 记为s, 可写成 0 ( ) ( ) d . st F s f t e t     这就是本章要讨论的Laplace变换, 它放宽了对函 数的限制并使之更适合工程实际, 并且仍然保留 Fourier变换中许多好的性质, 更实用、更方便

复变函数与积兮变换 §8.1 Laplace变换的概念 1 Laplace变换的定义 2周期函数和δ函数的 Laplace变换

1 Laplace变换的定义 2 周期函数和d 函数的Laplace变换 §8.1 Laplace变换的概念

8.1.1 Laplace变换的定义 复变函数与积兮变换 定义81设f(1)在t≥0上有定义,并且积分 F(s)= f(t)e"dt(s是复参变量)关于某一范围 s收敛,则由这个积分确定的函数 F(s)=f(oe sdt, 称为函数∫()的 Laplace变换,并记做LIf(o),即 L I(t]=F(s)=f(t)e stdt

定义8.1 设 f (t)在 t  0上有定义, 并且积分 0 ( ) ( ) d st F s f t e t     (s是复参变量)关于某一范围 s 收敛，则由这个积分确定的函数 0 ( ) ( ) d , st F s f t e t     称为函数 f (t) 的Laplace变换, 并记做L [ f (t)],即 0 [ ( )] ( ) ( ) d . st f t F s f t e t      L 8.1.1 Laplace变换的定义

F(S)称为∫(t)的像函数,f(t)称为F() 复变函数与积分变一 的像原函数 已知F(s)是∫(n)的 Laplace变换,则记 f(t=L-F(s) 换并称∫(0)为F(的 Laplace变换

F(s)称为 f (t) 的像函数，f (t) 称为 F(s) 的像原函数. 已知 F(s)是 f (t) 的Laplace变换，则记 1 f (t) [F(s)],   L 并称 f (t)为F(s)的Laplace逆变换

例81求单位阶跃函数 复变函数与积兮变换 t>0 u(t)= 0,t0时, + OO L[() e dt 因为在 Laplace变换中不必考虑t<0时的情况, 所以经常记作L[

0 0 1 1 [ ( )] d . st st u t e t e s s          L 因为在Laplace变换中不必考虑 t  0 时的情况， 所以经常记作 1 [1] . s L  例8.1 求单位阶跃函数 1, 0 ( ) 0, 0 t u t t       的Laplace变换. 根据Laplace变换的定义，当 Re s  0 时