《高等数学》课程授课教案（讲义）第三章 导数的应用 习题

第三章导数的应用 习题 一、中值定理 1设(x),g(x)在【a,b】上连续，(a，b)内可导，且 f(a)=f(6)=0, g()≠0，证明：在a，b)内至少存在一点专，使 f(5g()=g'(E)f(5) 证令)=团 ,则①(x)在【a,b】上连续：在(a,b)内可 g() 导：且平()=④(b)=0.放由罗尔定理得，在(a,b)内至少存在一点5， 使①()=0，即 f"(5)g(5)=g'(5)f（5) 例2设f(x),g(闭在a,b]上可导，且g(x)≠0xe(a,b)证明：存 在e(a,b)使 f)-f(a)f"() g()-g()g(5) 证令F()=[/(x)-f(a)Ig(x)-g(],则F()在[ab1上满足罗 尔定理条件，从而存在号∈(a,b),使F()=0,而 F'(x)=f(x)g(x)-g(b)]+[f(x)-f(a)]g'(x)

1 第 三 章 导数的应用 习 题

f"(5[g(5）-g6]+[/(5)-fa]g'(5)=0，即 f5)-fa-f'() g(b)-g(5)g'(5) 例3设f(x)在【a,b1上可导，且ab)B,则存在号∈(a,b), ga-a Ea外烟 时®)-时@=j⑤-"(9 a-b f(b)f(a) 6 11”=份-'份 b a 令F对=，G对=}，则.G在ab1止 8,ea的漫88-88-渴 f@_f@)"'()-f() 11 一= 也即 1 b a

2

时)-r@=j6)-甘（⑤ a-b 限.24-号++62=0.E 2m-1 明方程 a1c0sx+a,c083x++a,c0s(②m-0x=0在(0，否内至少有 一个根 蓝◆j0=am+号m3x++2(2-,则 3 f)在[0牙上连康，在(0罗内可导，且寸0=0， ⑨=4-号++0 2m-1 由罗尔定理，在(0，孕内存在5，使了《⑤份=0， 即4cos5+acos35+.+a,cos(2m-D5=0.5e(0 亦即方程在(0，三内至少有一个根。 二、不等试 ,是 里◆f-是生，e孕 3

3

则/'幻)=-xcos-cosxt-为，0 于是闭)在[0，上单调增加注意到了=0 数01时2≤x2+0-》≤1 证记f(x)=x2+1-x)2则f(x)在【8,11上连续且可导 由f八（分=风x1-1-产=0得驻点而=号 图f0=19=文0=1 散寸因)在8,11上的最大值为1，最小值为2 1 即2≤”+-≤1 创7设f(x)=41mx+am2x+.+a,mx，且 If(闭mx

4

其中a,a.a,为实数，证明|a1+2a3+.+2a1 四0但 x-0 1os+点 f'(x)=acosx+2az cos 2x+.+na.cosnx f"(0)=a+2a2+.+iaw 故|a1+243+.+a.s1 三、杂影 例8已知(x)在[0，+网)上连续，才(0)=0.f()在[0，+网)上存在且 逆增， 令g(的=团(x>0),证明脏(0，四上通数寸因是迷的 正g份=寸团-因-闭-创-f0刨 _"w)-f⑨x."闭-f'但>0 x2 (0<5<x) 故g(x)在(0，+o∞)上是递增的 例9求数列低万中的最大项

5

解设f闪=x（x21),则 h0闭=h 因网产 1 x2 由f"(x)=0得驻点x=e 当1≤xB,f(x)单调逆增：当×>e时，f"(x)2【(B°=9，(N2)°=8】，故数列6分中 的最大项为5 例10设y=f(x)在点×=×，的某邻城内具有三阶连续导数，如果∫"(x0) =0,f"(x0)=0,了"(x0)≠0，问点×=×，是否为极值点？是否为拐点？ 解因f"(x)≠0，不妨设f(x)>0，又因 m=J()>0, 故3U(x0,6)，使 f"(x)>0,廿xeU(x0,).从而f"(x)在（布-6，+）上单调增 加. 当x∈(，+时，f"())f"(x)=日，即fx)在

6

(,而+)上是凹的： 当x∈(-6，x)时，f"(x)《f"(x)=日，即f(x)在 (-6,x0)上是凸的. 越点(0，f(x)》是f(x)的拐点 由当x∈(-6，x)时，f"(x)《0知f"(x)在(6-6，)上单调 递减，故当xe(-6,x)时，f"(x)〉f'(x)=日：由当 x∈(x0,+)时，f"()>0,知f(x)在(，0+可上单调遵增， 故x(0，+6)时，f'(x)>"(x)=B,即在的两侧f"(x)同号.因 此，点=不是(x)的极值点 7

7