《高等数学》课程授课教案（讲义）第二章 导数与微分 第五节 函数的微分

第二章导数与微分 第五节函数的微分 一、引例函数增显的近似值问题 先分析一个具体同题。边长为的正方形面积S=，当边长由x,委到 不0十△x时，面积的改变量（增量） △S=(0+△x}2-x=2x△x+(x)2=2x△x+o(△x)g2x△x 〔当凸对很小时) 二、微分的定义 定义设函数y=(x)在点x)的某一邻媒(x)内有定义， +△x∈U(),如果函数的增 4y=f(+△x)-f(x) 可表示为 △y=A△x+o(△x) 其中A不依赖于△x,则称函数y=f(x)在点x0处可微，而A弘x称为函数 y=f(x)在点x0处（相应于自变量增量△x)的微分，记为dyk,即 dyk-=A△x

1 第 二 章 导数与微分 第五节 函数的微分

注1P函数y=f(x)在点x处的微分记为dy, ?称dy是△y的线性主部，当|△x很小时，有4ygdy 三、可导与可微的关系 定理函数y=f(x)在x0处可微台函数y=f(x)在x处可导， 且当f(x)在xo处可微时，dyx-。=f"(x)△x. 证必要性C一")：若y=f(x)在x0处可微，则由定义得， △y=A△x+o(心x)(其中A不依赖于△x). 于是， 名4+2，是=4+-A。 △x 无性r):若y=网闭在类可学，则色名=》，由 西蒙瞬与无联得怎=)+公，中职《=0，于是， △y=f"(x)△x+a△x=f"(x)Ax+o(x). 显然，"()与△x无关，故有微分的定义得，y=f(x)在处可微，且 dylk=f"()ax。 注1y=dyr-%+o(△x)）(x→0) 且当f"()≠0时，4y=dy+o(4ylk-)(dx→0)

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4y=dy+o(dy）(ax→0) Aydy (x→0) 2通常把自责量x的增量△x称为自变量的微分，记作dx,即dx=△x, dy=()dx,dy=fx)dx: l=w,是-因. （这成是说函数的微分d少与自变量的微分d环之商等于该函数的导数。 因此，导数也叫做“徽商”) 4dy不仅与x有关而且与dx有关而x与dx是互相独立的两个变量 四、微分的肌何意义 函数y=寸(x)在点x)处的微分dy在几何上表示曲线y=寸(x)在 点〔0，f(》处的切线上的点的纵坐标〔相应于△x)的增量 五、基本初等硒数的微分公式与微分的运草法则 1.基本初涵数的微分公式 2.微分的四则运甘法则 du±y=dw士dy d(Cu)=Cdu d(uv)=ydutudv 3

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d()=yduudy 3.复合函数的0分法则 (①)y=fu) 4是自奥量的=f'u)d出】 (②y=f.u=p闭a里=f")o(a dlf(u)]=f(u)du 注无论是自变量还是中间变量，微分形式少=“(u)保持不变。 这一性质称为微分形式不李挂 方法二间接法-一利用微分与导数的关系：dyk=f"()dx, dy=f"(x)dx 例1设y=x2,求函数在x=1处的微分。 解dyl-1=y1-1dx=2dx 2求函数y=X在x=2,dx=0.02时的微分 解dylk-1=y-2dx=3x2-20.02=0,24 例3求下列函数的微分： (1)y=sin(2x2+10

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解法1：直接法 dy=cos(2x2+d(2x2+1)=cos(2x2+1)4xdx=4x cos(2x+1)dx 。 解法2：问接法 y=4xcos(2x2+1) dy=y'dx=4xcos(2x2+1)dx. (2)y=e2 cos3x 解法1：直接法 dy=d(e)cos(3x)+e"d(cos3x)=e d(2x)cos3x+e2(-sin 3x) =2e2 cos 3x dx-3e2 sin 3xdx=2 (2cos3x-3sin 3x)dx. 解法2：间接法（略） (3)y=x2fnx对 解法1：直接法 dy=d(x2)f(In x)+xd(f (n x))=2xdx-fanx)+xf'(n x)dan =2xdxf0nx)+x2fmx对1dx=[2对0m对+对"(nx]dx· 解法2：间接法（略） (4)y2+my=x 解法1：直接法（略） 陆法2：间接法 ,编 4xy dy-ydx-2dx 例4填空： (1)d )=e2dx (2)d )-2x+idx (3)d )=sin 2xdx (4)d )左d (5)d()=2dx (6)d )=csc22xdx

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