《高等数学》课程授课教案（讲义）第一章 极限与连续 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

第一章极限与连线 第九节连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的和、差、积商的连续性 定理1设涵数f(x)和g(x)点x连续，则它们的和（差）f(x)士g(x)、积 fx)g()及商() 〔当g()≠0时)都在点连续。 ”g(x) 由于f(x)=cosx,y=mx在定义城连续，所似y=tnx,y=cotx 在定义域连续，因此，三角函数在定义城连续。 二、反西数与复合函数的连线世 定理2如果函数x=()在区问1，上单调增加（或单调少）且连续，那么它 的反函数y=(x)也在对应区间1，=(xx=y),y∈1，)上单调增加 （或单调诚少)且连续。 阳y超受 y arcsin x 所以其反还数y=a过csinx在 1,=(xx=i,y∈1，)=[-1,1]单增连续 同样可说明其它反三角函数在各自的定义域上连续 另外，可说明y=1ogx在定义城上连续。 定理3设函数y=f(g(x》由函数y=f仙)与涵数弘=g(x)复合而成，若 织（幻=6，而硒数y=了）在=莲徒，则

1 第 一 章 极限与连续 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

lim fg(x)=lim f(u)=f(). 在定理3中，因为1m8()=6,1m了创=了g),所以可以写成 织几g(]=九职g(],这就表明，在定理3的条件下，求复合而成 y=寸(g仙》的极限时，函数符号∫与极限符号1im可以交换次序。 把定理3中的x→换成x→60，也可得类似定理， 0妈0. 解原式=lim(1+x对=In lim+x-he=l. 定理4设函数y=f(g(x》由函数y=fu)与函数u=g(x)复合而成，若 函数=g(x)在x=连续，且g(x)=,而函数y=fu)在=连 续，则复合函数y=f(g(x》在x=和连铁， 例2讨论x>0,y=x“=e在定义域上连续性 三、初片辆数的连续性 容易证明：基本初等通数在它们的定义城内都是连续的 再根据前面的定理1、4可得下列重要结论： 定理5一彻等涵数在其定义区间内都是连续的。 上述结论更提供了求极限的一个便利的方法： 如果f(x)是初等函数，且x是寸(x)的定义区问内的点，则

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1mfx)=f. 3吗血m=0 区- 9)头aga 例4讨论f(x)= 1-e <2在定义城上的连性 x2 期在x=2:段同=0子-1 腰闭=g0-e商)=1 f(2)=1 码()=(2) 所以 f(x)在定义域都连续 3

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