《高等数学》课程授课教案（讲义）第一章 极限与连续 第三节 函数的极限

第一章极限与连绒 第三节函数的极限 本节我们庄妻研究 （1)x→0时，对应的函数值f(x)的变化趋势。 〔2)x→时，对应的函数值∫(x)的变化趋势。 一x→0时函数的 x→0是指x无跟增大. 如果当x→0时，函数(x)对应的函数值无限援近于确定的数值A,则 就说A是函数f(x)当x→o时的极限。记作1imf（x)=A 如：职=0，职9f=0 与数列的8限比数：了仞）→a:→0 f(x)→a,x→o 它们的不同点为：？离散地取正整数，x为实数，且变化是连续的。 共同点为：当自变量的绝对值无限增大时，函数值无限趋近于常数A(体 质相同) 因此，类似于数列圾限的定义，当x→00时函数f(x)的极限的定义为： 定义1设函数f()当：x!大于某一正数时有定义，如果存在常数A,对于 任意给定的正教？（不论它多么小），总存在正数X,使得当x满足不等式 |x卜X时，对应的函数值f(x)都满足不等式：寸(x)-A:〈，那么常数

1 第 一 章 极限与连续 第三节 函数的极限

A就叫做函数∫(x)当x→o时的极限，记作1imf()=A或∫(x)→A （当x→c0h ↑y 证对于任息给定的正数e,取正数X=】 ”21 当|xX时， 2x-11 x 职2-2 几何上，可知y=2为曲线y=2-上的冰平新近线。 一搬地，若1m()=A,则y=A为y=(x)的冰平近线， 创：求y= +7的水平蒲近。 解y=1 mf()=A的肌何解释： 廿E>，作两条直线 y=A+8,y=A-8, 相对于这E,必存在点一个正数X, 3

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当x《一X或x〉X时，函数f(x)的图弗均落在这两直线之间。 1m()=A的特殊情形 1)当x>8且副x无限增大（记作x→+o,职了（闭=A 2)当x1时，证明：织。=0，典a’=0,ma=0 定理】1mf()存在且为A台巴寸()，m()都存在且相等 〔为A) 例4讨论m arctan存在性. 解因防：典n面x=子典mx=-受 所似：m arctan不存在. 注：如n cosx与m如x不存在.（后面给出证明） 二、x→时函数∫(x)的服限 lim f(x)=A

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我们知道：“f(x)→A"可用“！f(x)-A!日，作两条直线y=A+和y=A-e,相对 于这2，必存在点的一个5邻域〔-6，+6，当f(x) 的图形上点的横坐标x在这个邻域内，除x=点外的其它纵坐标

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f(x)均落在两条直线y=A+E和y=A-E之间的蒂形区城 内。 例1（1)证明1imc=c,此处c为一任意常数. (2)证明1im(3x-1)=8 ：1)已脚织儿在，且/因=+*2织因，求 f(对 盟·典 x-1 左、右酸限： 左极限：织（闭=A取八为）→A. 右极限：1im,()=A或f八)→A. 左极限和右极限通称为单侧极限 定避：细闭存在为4)片腰（闭，织（闭都蹄在且相家为 A) +y 「x-1,x1

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创4设g(对=☒，讨论x=B处的限。 期8)=3x>0, -1,xB(成A日（或f(x) 2 由定理3，可得 推论如果在的某一去心邻城f)之8（求了6）≤日，而且1m(闭= 6

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A,那么，A≥日(A≤日). 定理4（函数极限与数列极限的关系）如果1im()存在《方)为通数了() 的定义域内任一收敛于x的数列，且满足：≠石(∈),那么相应的函 数值数列tf(3,)必收敛，且mf(伍，)-lmf(闭 第正明职如不，(，可得co不在) 证反证法若妈血存在减为A了闭=m上的淀义城为天子0的 一切实数。 1 ()=0 x=1 :→0 ”2r+ im f)=1 理：色0-，看，m上不

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