《高等数学》课程教学课件（PPT讲稿）极限与连续 1.5 无穷大与无穷小

第五节无穷小与无穷大 米 ✉合

第五节 无穷小与无穷大

本节主要内容： 1.无穷小： (1)定义 (2) 性质 (3) 无穷小与极限的关系 2.无穷大： (1)定义 (2) 无穷大与无穷小的关系 3,无穷小的比较

本节主要内容: 1.无穷小： （1）定义 （2）性质 （3）无穷小与极限的关系 2.无穷大： （1）定义 （2）无穷大与无穷小的关系 3.无穷小的比较

例：lim(x-1)=0 lim In x= 0 x→1 x→1 1 1 lim 0 lim x-→0X nn2+1 米 ✉合

lim ( 1) 0 1 − = → x x 例： = → x x lim ln 1 = x→ x 1 lim = → +1 1 lim 2 n n 0 0 0

一、无穷小量 1.定义： 如果当x→x(或x→∞)时，函数f(x) 的极限为0，那么函数f(x)叫做当 x)xo(或x→0)时的无穷小量， 简称无穷小 以极限为零的变量就叫无穷小

一、无穷小量 1.定义: f (x) ( ) , ( ) 0 如果当 x → x 或x →  时 函数f x 的极限为0，那么函数 叫做当 0 x x → ( ) 或x →  时的无穷小量， 简称无穷小. 以极限为零的变量就叫无穷小

例如： .lim sinx=0,.函数sinx是当x→0时的无穷小 x→0 .lim-=0, .函数是当x→∞时的无穷小 x-→o∞X lim-少”=0，数列-°提当m→o时的无穷小 n-→on 注意：1无穷小是变量，不能与很小的数混淆； 2零是可以作为无穷小的唯一的数 要说一个函数是无穷小，必须指明 自变量的变化趋势

limsin 0, 0 = → x x  函数sin x是当x → 0时的无穷小. 0, 1 lim = x→ x  . 1 函数 是当x → 时的无穷小 x 0, ( 1) lim = − → n n n  } . ( 1) 数列{ 是当 → 时的无穷小 −  n n n 注意: 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 3.要说一个函数是无穷小，必须指明 自变量的变化趋势. 例如：

2无穷小的性质 性质1在同一过程中，有限个无穷小的代数 和仍是无穷小. 性质2有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 性质3有限个无穷小的乘积也是无穷小

2 无穷小的性质 性质1 在同一过程中,有限个无穷小的代数 和仍是无穷小. 性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 性质3 有限个无穷小的乘积也是无穷小

例1 limxsin- x>0 X 解：因为limx=0,所以x是当x→0的无穷小 x→0 1 而 sin- ≤1，所以sin上是有界函数 X X 故 lim xsin-=0. x→0 X 米 ✉合

0 1 1 lim sin . x x → x 例 1 sin x 所以 是有界函数 所以x x 是当 → 0的无穷小 0 lim 0 x x → 解：因为 = ， 1 sin 1, x 而  0 1 lim sin 0. x x → x 故 =

3.无穷小与函数极限的关系： 定理Iimf(x)=A台f(x)=A+(x), x→x0 其中o(x)是当x→x时的无穷小。 米 ✉囧

3.无穷小与函数极限的关系: 定 理 lim ( ) ( ) ( ), 0 f x A f x A x x x =  = +  → 其 中(x)是 当 0 x → x 时的无穷小

二、无穷大 例：当x→0时，1→： 当x→+0时，ex>+o0; 当x>+0时，nx>-oo 定义如果当xx,(或x→o)时，函数f(x)得绝对值 增大，函数f(x)称为当x→x(或x→o)时的无 简称无穷大 ✉合

二、无穷大 例 当 → 时， → ； x x 1 : 0 当x → +时，e x → +； 当x →+0时，ln x →− 0 0 ( ) , ( ) ( ) ( ) x x x f x f x x x x → →  → →  定义 如果当 或 时 函数 得绝对值 无限增大，函数 称为当 或 时的无 穷大量，简称无穷大

如果函数f(x)当x→x(或x→o)时为无穷大， 那么它的极限是不存在的，但为了描述函数的这 种变化趋势，也说“函数的极限是无穷大”， 并记为 lim f(x)=oo. x→X0 (x-→0) lim(-l)”极限不存在 n->oo

0 ( ) 0 ( ) ( ) lim ( ) . x x x f x x x x f x → → → →  =  如果函数 当 或 时为无穷大， 那么它的极限是不存在的，但为了描述函数的这 种变化趋势，也说“函数的极限是无穷大”， 并记为 n 极限不存在 n lim (−1) →