《高等数学》课程授课教案（讲义）第二章 导数与微分 第四节 隐函数及由参数方程所确定函数的导数 相关变化率

第二章导数与微分 第四节隐函数及由参数方程所确定函数的导数相关变化率 一隐函数的导激 1.函数的根2 由二元方程F(不，y)=0所确定的函数称为隐函数， 2·隐☑数的球导法 创1求由方程x2+少2=口2所确定的鸭通的号数 dx 解方程两边同时对x求导，注意到y=y(x),得 2x+y￥-0. %2=x+y,* e0y+y)=1+y, 兴兴 器

1 第 二 章 导数与微分 第四节 隐函数及由参数方程所确定函数的导数 相关变化率

州勤+少：m兰空 dx'dx 解hn(+y门=arctan之， 12x+22-1=, x+xy=y-y, 2x2+y2 y_2x+ dx2 (x-y)3 例4设y=1+xe’,求y“ 解y=g之+'y， 09c.8-y.e-5. (2-2 (2-)2 (2-)3 e2(3-y) (2-yy

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3.需指函数及“来积型”复杂涵数的球导方法 5设y=不出，求y. 解一（对数求导法)lhy=sinxin, oa号 y=产(co+2inx 解二（指数求导法)y=er血 y=orh (cosx.n=hcoi (2x+1)3 6y=N+3x- 期ay=I3h(2x+0-h(x+0-ln(6x-2刃 1(2x+D3「62x31 通分：) 二、由参激方程所确定的函数的球导法则

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业-0 dx() /dt) / (t) 7设.=a- 0*器 dy sint 2 -1 1 Za(1-cost) 2m5a0-coa0 a(1-cost) g设不=h1+ dx3·

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1 解 dy 1- Γ1+2 = dx 2t 2 1+t2 d2y 1+21.t dx? 4t 4t4 1+2 1 dy 3+、 t4-1 是3 1+t2 三、相关变化率” 设x=x(心、y=y()都是可导函数，而变量x,y间存在某种关系，从而 变化率 不与dy间也存在一定关系。这两个相互依赖的变化率称为相关支化率。我们 dt dt 可以 从其中一个变化率求出另一个变化率. 例一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升，其速率为140mmin(分)， 当气球高度为500m时，观察员视线的仰角增加率是多少？ 解设气球上升t秒后，其高度为，观察员视线的仰角为《，则 tan a= 500 其中《及都与存在函数关系。上式两边对t求导，得 sec2 a. da 1 dh dt 500 dt 已知 dh =140,当h=500时，tan=1,sec2x=2, dt 所以 2.de=1140, dt500 即 dc_7=0.14(孤度秒1. dt 50

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