《高等数学》课程授课教案（讲义）第一章 极限与连续 第四节 无穷小与无穷大

第一章极限与连续 第四节无穷小与无穷大 一无夺小 定义1如果(x)当x→)（或x→0）时的极限为零，那么称函数f(x) 为当x→。 （或x→0)时的无穷小。 例如：x→0时，x2,g-1是无穷小 x→o时·。e是无药外 注意：1.任何除零外的徽都不是无穷小。 2.数零是任何趋势下的无穷小. 3,函数为无穷小必须指出自变量的变化挡势 4,无穷小在定义威的某区间内必是有界函数 定理1在自变量的同一变化过程x→x和（或x→0）中，函数f(x)具有极 限A的充分必要条件是f(x)=A+Q,其中心是无穷小. 证先证x→时的情形 必要性设1m(闭=A,则>,36>8,当0x-xK6 时，有 !f(x)-A!《e

1 第 一 章 极限与连续 第四节 无穷小与无穷大

令&=f(x)-A,则a是x→时的无穷小，且f(x)=A+ 也即f(x)等于它的极限A与一个无穷小之和。 充分性设f(x)=A+,其中A是常数，a是x→x时的无穷小，于 :f(x)-A:=&, 因x是x→0时的无穷小，所似>日，36>8，当0x-0K6 时，有 ae,即f(x)-AE. 所似，A是寸()当x→x时的极限， 类似可证x→co时的情形. 1不→2时，将了=5江+10表为一个数与一个无小之和 x+3 期：®a=闭-4=号/间=4a,种公是→2 的无穷小. 二、无大 前面我们极限存在的函数，在设有极限的函数中，有一类值得注意，例如： x→0，f0w= x不无限趋于一个定常数，但在各自的变化过程中，/升 →0，f0)=n2

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都是无限增大的，这类函数叫做无穷大量。 如果当x→〔或x→0)时，对应的函数值f(x)的绝对值(x)无 限增大，就称函数(x)为当x→或x→00)时的无穷大， 定义2设通数f(x)在x的某一去心领城内有定义〔或：x:大于某一正数时 有定义)，如果对于任意给定的正数州（不论它多么大），总存在正数百（或正数 ×),只要x适合不等式0x-6〔或：x:X),对应的通数值f(x) 总满足不等式 :f(x):>H 则阶函数f(x)为当x→和（或x→0）时的无穷大 1x+3 如：x→0时，。x 为无穷大：x→-0时，x2,e为 无穷大 注意：1任何大的常数都不是无穷大 2.当x→（或x→00)时的无穷大的函数f(x),其极限是不存 在的，但有时方便起见也说"函数如的极限是无药大”并记作织（闭=0（或 limf()=co). 但此0仅是记号而已. 3·函数为无穷大必须指出自变量的变化趋势

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4.无穷大必是无界函数。 5.在无穷大的定义中，把！f(x)1)H换成f(x)>H(或f(x)(- M,就记作（闭）=o0(或mf(x)=-0). 三、无$大与无$小的联系 定理2在自支量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则- 问为无药大 1 之，如果f(x)为无穷小且f(x)≠0，则 证设细（闭=0. >0医无大定文手=日5>0省0-%水k, 有 网档x→6时的无药个. 1 所以 反之，1imf(=0,且f()≠6

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时，有 0网tn, 烈石档→明无大，延他的。 ↑ 1 帆：然：男0 x=1 1 几同上：直线=1为y产一的法直新新做 一龄地说，如果引mf(內=0，则直线x=是函数y=(x)的图 形的铅直渐近线。 附求y=一2的水平和直南近线 解水平渐近钱：y=1:垂直渐近饿：x=2

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例4设8（分=☒，讨论x=日处的限。 期g闭=>0 -1,x,使得当0x-06时，有：f(x)≤M 定程3（函数极限的局高保号性）如果1()=A,且A>8(成A日（或f(x)4 由定理3，可得 推论如果在x的某一去心邻域f(x)2B(或(x)≤日)，而且1imfx)=

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