《高等数学》课程授课教案（讲义）第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质

第四章不定积分 第一节不定积分的概念与性质 一原函数 1.原函数的定义 定义1若存在函数F(),使得Vx∈1，都有F(为=()，则F(x)称为 ()在区间1上的一个隐 注F(x)是f(x)的一个原函数台f(x)是F(x)的导函数， 2.原函数的性质 性质1若F(x)是f(x)在区间1上的一个原函数则附任意常数C,.F(x)+ 都是f(x)在区间1上的原函数.因而，若∫(x)存在原函数，则f(x)的原函数 有无穷多个。 性质2若F()是f(x)在区间1上的一个原函数，则(x)在区间1上的一 原函数 均可表为F(x)+C的形式，其中C为第数. 3.原函数存在的条件 定理原函数存在定理) 如果函数∫(x)在区间1上连续，那么在区间1上存 在可导涵数F(x),使对任意x∈1，都有F(x)=f(x).【简言之，连续 函数必有原函数】

1 第 四 章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质

二、不定积分的根名 1.不定积兴分的定义 定义2若F(x)是f(x)在区间1上的一个原函数，C为任意常数，则称 F(x)+c为f(x)在区间1上的还底积盼，记作了f(x)d红.即(x)d F(x)+C. 其中：∫-一积分号： X一一积分变量： C一一积分常 数： f(x)一一被积函数：寸(x)一一被积表达式 c: 产=cx+c。 :证明：dk=h+c. 2.不定积的肌何意义 曲线y=F(x)叫做f(x)的一条积分曲线. 不定积分」/(x)d红在几何上表示一族积分曲线y=F(x)+C 例3设曲线过点(1,2)，其上任意一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍， 求曲线方程

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解设曲线方程为y=f(x),则"(x)=2x,于是， f(x)=「2xdx=2+C. 由于f(0=2,故C=1.因此，所球曲线方程为y=x2+1 3.兴盼运草与求导运的关系 1.[ff)dx]-f(),d[fr(dx]f()dx 2.∫")d-j)+c,或∫d时闭=J)+C 譬a+c因 f()=V-xarcsinx+x】 三、不定分的性质 性质1ff(x)+g(xa=∫f(x)d+g(x)d红. 性质2[时(x)dr=f(x)dx（k≠0) 四、基本积盼公式 1.[kdx=kx+c

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2小ae 3.c 4.∫e'dk=e*+C 5小aa2+c 6.[sin xdx=-cosx+C 7.∫cosxdx=simx+C 8.Jsec'xdx=tan x+c 9.∫csc2xdk=-cotx+C 10.[sec xtan xdx=secx+C 11.cscxcot xdx=-cscx+C a小5* 1 dx=arcsin x+C=-arccosx+C B.小子ta+C=-ct+c

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例5 ∫W版+3-5)dx=∫+3x3-)=号x+9x-5x+c 例6+)dx=2G-+c. ,a=小e倒a=+c=斋+c [(e*+3sinx+sec2x)dx=e*-3cosx+tan x+C 例9 -+a+小2-14-x+m+c 剑n ∫万可活修0士+c 4可2若4-〔3+中=2+mx4c

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ug-小d2da-e 例13（1)[tam2xdx=[(sec2x-10dk=tanx-x+C (2)[cot2 xdx=[(csc2x-1dx=-cotx-x+C wwm女-g登+c eor2女=±2ax=登+y+c. 例15 4 ∫mod-∫结o22d=小o+品4=m-ecot 例16 ∫1+adx=∫eodx=6sec2x-刘dx=tmx-secx+c 24-修-e ln号 练习 6

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千dxax-tax+C. 2 4小c-d+3a-9422c +告2x=+0++x=e+1) x2+1 +x+arctan x+C. ix-cex-c xc)dx-cot+c 4=24-可a2x+2细+e2 =[(2sec2 x-1+2tan xsec x)dx=2tan x-x+2secx+C. 得4点 小g

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