《高等数学》课程授课教案（讲义）第七章 微分方程 第六节 可降阶的高阶微分方程

第十二章微分方程 第六节可降阶的高阶微分方程 $6可晖阶的宫阶微分方程 一、y)=f()型 解法逐次积分法 例1求方程y"-sin2x+2x的通解 y=s2x++ y-m2+++ go2r+7++Gx+G 原银为y-o2x++G2+x+ 二y=f(x,y型—不显含y型 账◆少p贵 a☑器x列 例2求解初值问题： 1-x3y-=0 y儿0=0y儿=1 解令y=p,则y=p. 原方程可化为 1-x3p'-m=0 解令y=,则y=卫. 原方程可化为(1-x2-2=0. 分离变量得 两边积分得 inp=-in()+nG 即 y C

1 第十二章 微分方程 第六节 可降阶的高阶微分方程

由y10=1得C1=1, 1 故 =-云 再积分得 y=arcsin x+C2, 由儿以。=0得C2=0, 故所求特解为 例3求方程'-y=x2的通解 解令y=p,则y=卫. 原方程可化为 p-pes. (1) 方程〔1)是一阶线性方程，其通解为 p[xdx+c hfxeh:dx+c] =x(x+C). 即 y=x+Cx 两限得少式+02+G· 即 y=+cx2+G(G=2c). 三、y”=f0y,y)型—不显含x型 胜◆=p宁y=影 圆n号0习 12

2

例4求方程”+2(0y2=0满足初始条件y儿0=1，y儿-0=2的特解. 解令y=p,则=Pa 原方程可化为 p影+2p2-0 分离夹量得d2.2d,(因为由初脸条件知p0) p y 两边积分得 In p=-2In y+In C1, 即 由八l0=1,y-0=2得C1=2, 再分离变量得 ydy=2dx 再积分得 2x+0 由儿w=1得C= 故所求特解为 y2=6x+1 例5求方程y”-0y)子=0的通解. 解令y=p,则y= 原方程可化为。 p影-=0. 当卫≠0时，分高支量得d2。d少 py

3

两边积分得 Inp=Iny+InC, 即 y'=Cy· 再分离变量得 dy=C dx, y 再积分得 In y=Cix+In C2 即 y=Cecr. () 当p=0时，y=C,它已包含在〔“)式中 故原方程的通解为y=C,e9】

4