《高等数学》课程授课教案（讲义）第八章 向量代数与空间解析几何 第四节 空间曲线及其方程

第七章向量代数与空间解析几儿何 第四节空间曲线及其方程 一、空间曲钱的一最方程 设F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0是两个空间曲面的方程，则它们 的文线C的方程为 C: ∫F(xy,2)=0 G(x,y,2=0 「x2 表示怎样的空间曲线？ (y=3 :画出空间线2+少=a 在第一卦P限的图形 x2+z2=a2 二、空间曲战的参数方程 设空间曲线C上动点x,，z可表示为参数的方程 x=x y= z=Z 则上述方程组称为空间曲线的参数方程 例3如果空问一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度0 毙z轴旋喇，同时又以线速度v沿平行于z轴的整方向上升，那么 点构成的图形如叫螺娘线，建立螺线的参数方程。 解以时间t为参数，t=0时点位于x轴，经过时间t,动点运动到点M(x,y,2),则 [x=acos@t y=asin at z=vt 起9=m6= ·,则螺旋的参数方程可写为

1 第 七 章 向量代数与空间解析几何 第四节 空间曲线及其方程

[x=acos日 y=asin 2=b8 三、空润曲线在坐标面上的投影 设空间曲线的一般方程为 C: 「F(x,y,z）=0 G(x,y,2=0 (1) 从上述方程组中消去变量z,得方程（这是一个柱面的方程） H(a,y)=0 (2) 故柱面H(红，y)=0必定包含曲线C。我们把以曲线C为准线、母线平行于z袖的：面叫 做曲线C关于Oy面的投影柱面，投影柱面与Oy面的交线知叫做曲线C在@y面的投影曲 线（简称投影），因此，方程2)所表示的柱面必定包含投影往面，方程 ∫H(x,)=0 (z=0 所表示的曲线必定包含曲线C在xy面投影曲线。 同理，消去方程组1)中的变量x或y,再分别和x=0或y=0联立，我们就得到包含 曲线C在0z面或Oz面上的投影曲线的方程。 1家2中 在xOy上的投影 2=V2+y 解消去2，得x2+y2= ：月 [z=0 以后往往要遇到空间一个立体或曲面在坐标面上的投影，请着下例. 设一个立体，由上半球面z=√4-x2-少2和推面z=√3(x2+y)所围成，求

2

它在xQy面上的投影. 解半球而和雄而的交线为： c:2=4-2y z=3(x2+y) ∫x2+y2=1 C在xOy面上的投影为： (2=0 所球立体在xOy面上的投影为： z=0 3

3