《高等数学》课程授课教案（讲义）第十一章 曲线积分与曲面积分 第四节 对面积的曲面积分

第十章曲线积分与曲而积分 第四节对面积的曲面积分 一、对面的曲面积分的根念与世质 实例设空间有一张有界的光滑的曲面工，曲面工上点(x,y,2)处面密度为 4(x,y,z),其中4(x,y,2）>0且连续，求该曲面的质量州 ①分割将曲面工任意分成n个小块△S1,△S2,.,△3，这里△S,既表示第i个小 块，又表示第个小块的面积。第i个小块的质量为△%，则有 m-2 ②取近似在△s,中任取一点(，0.5，)i=1,2.,为 △洲，04（号，1,5）△s z↑ O求和m=之△%之46，.0△e 1- ④取极限 入为△51，△52，.，△5，中直径的最大者 定义设曲面工是光滑的，函数f(红，y,2)在工上有界，把工任意分成为小块△s 〔△s,同时也表示第个小快曲面的面积x设(，办：，)是△5：上任意取定的一点， 作乘积f(G,.4)△,（i=1,2.,n),并作和∑f(,6)，如果当各 小块曲面的直径的最大值足趋于零时，这和的极限总存在，则惭此极限为函数 （么，y2)在曲面工上对面的面求第类面，记作小(,2， 1

1 第 十 章 曲线积分与曲面积分 第四节 对面积的曲面积分

小J0地=典云Ga 其中：∫(x,y,z)称为被积函数，工叫做积盼曲面 说明°当fx,y习在工上连续，积儿(x以，2)存在 2°面密度为4(x,y,z)的曲面工的质量m=川4(x,出，2)d 对面积的曲面积分具有下列基本性质： 性质1儿杰=曲面之的面积 性质2若工=1+工2，则 f(x.y.2)ds =f(x.y.2)ds+f(x.y.2)ds 二、对面积的曲面积分的计草法 设曲面工：2=g(x,),工在xQy面的投影驱城为D,函数f(x,以，2)在工 上连续，g(x,y)在D,在具有一阶连续偏导数。则有下列计算公式： ∬fxy,2=∬fxy8(x功》+2+2号a 计算要点为：10被积函数(x,y,z)定义在工上，拉f(x,为，z)可换为 f(x,y,g(x,y》 2°曲面工的面积元来为d6=√1+z+z子dxy 侧1计恒∬他，其中工是球面2+y2+2=a2被z=h0<h<出的项 部. 解工的方程为：z=√a2-x2-少2，Dn为(x,y)川x2+y2≤a2-2)

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助++-可 停-。来7g广r-a 0计算aS,其中工是由2=2+少、2=1所围成立的整个边界曲面。 舞曲面公在2=不2+、2=1上的海分分别记为、马，于是 ds=fpas+fpza的 fots-v. 1pa-0nt-0 ffeds-0 3求面密度为A的均匀半球壳x2+y2+z2=a2(z20)对于z轴的转动惯 量。 解注意：面密度为(x,y,2)的曲面工对z的转惯量为： 4=∬x2+y)ox,y2d -可城 4-儿2之r, 四9广兴

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