《高等数学》课程授课教案（讲义）第十一章 曲线积分与曲面积分 第七节 斯托克斯公式，环流量与旋度

第十章曲线积分与曲而积分 第七节斯托克斯公式，环流量与旋度 一斯托克斯公式 格林公式描述了平面闭曲线上的曲线积分与所围驱域上的二重积分之间的关系，而 斯托克斯公式则把曲面上的对坐标的曲面积分与沿着工的边界曲线积分联系起来。 定理1设厂为分段光滑的空间有向闭曲线，工是以厂为边界的分片光滑的有向曲面， T的正向与工的侧符合右手法则，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在工上具 有一阶连续偏导数，则有 述公式称为斯托克斯公式。 说明1°厂的正向与工的侧符合右手法则。如图所示 C 2°记忆方法：Pdx+Q+Rd2- 39斯托克斯公式的另一种形式： fP+Q+=川2 “P R 40加果工是xy面上的一快平面区城，那么斯托克斯公式即为格林公式， 1 利用斯托克斯公式计算zx+x的+2，为三角形ABC的边界.取逆 时针方向。 解书上是利用对称性来做的，搞不洁楚时，值用对称性 17 xx+y+z=1

1 第 十 章 曲线积分与曲面积分 第七节 斯托克斯公式，环流量与旋度

z x y -小t++=3a子 （∑：z=1-x-y) 计算∫0-z)d+(-x+（红-y)也，其中T为闭曲 线2+少= (x+z=1 ,其方向为从x轴正向看去的顺时针方向， v-z z-x x-y =-2地+dkdk+dxdy=4[dxd的=4π [x=cost 另解因为厂的参数方程为 y=sint ,故原积公 z=1-cost =∫I2-simt-costHt=4r 二、环流是与施变 设有肉量场A=P(x,y,z)+Q(x,y,z)方+R(x,y,z),厂为场中一有向闭 曲线，曲线积分∫2+沙+称为向量场A沿有向闭线厂的环是（环程） 例如，力场产，环流量就表示力疗沿闭曲线厂所作的功。 向量场A的能度：

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R_2a2_aR22 可应西脉可 例3设A=z++，求1)向量场A的旋度〔2)向量场A沿三角形ABC 的边界厂的环流量（取逆时针方向平面ABC的方程为x+y十z=1. c aa 罪rotA= =(1,1 2不y A B 环量2++边=儿t++dd=∬3=月 例4设u=x2y+20y2-3z2,证明：v(grad)=4(x-, rot(gradu)=0 证明留给学生自己完成

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