《高等数学》课程授课教案（讲义）第十章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质

第九章重积分 第一节二重积分的概念与性质 一一重出 上册书中，从曲边梯形的面积问题引入了定积分的报念，现类似地从曲项驻体的 积、平面薄片的质量引入引进二重积分的将念。 1.曲项体的体积 曲项柱体：底为xy上闭驱城D,侧面是以D 的边界线为准线而母线平行于z种的柱面，顶是曲面 z=f(x.))(xy)ED 如图所示。假定z=f代x,)在区城D上非负连续。 易知：m=底面积×高（例如：圆体的体积，正三柱体的体积等 现在立体不是平顶姓体，不能用上述公式计算，困难在于曲项性体的“高”在变化， 如何求曲顶柱体的体积？ 解决方法与解决曲边梯形面积时所用的方法相同，即下列“分割”、“取近似”、“求 和“取极限”这四步。 第一步：分割用任意一张曲线网把D分成n个小区城， △G既表示第i个小区城，又表示第i个小区城的面积。 分别以这些小区城的边界线为准线，作母线平行于z轴 的面，这些柱面将曲顶柱体分成个小曲顶柱体，第 个小小曲项驻体的体积记为△，则 -之4g 第二步：取近似在每一个小区城△C;上，任意取一点(5，刀)，i=p △符f(G,n;)△a 第三步：求和。=2△%≈2/(G:7,)△G 第四步：取极限为求得该曲项柱体体积的精确值

1 第 九 章 重 积 分 第一节 二重积分的概念与性质

让分制无限变细，即使每个小区城的直径超于零。如 用表示第i个小区城△C的直径，1=max(,及，.，)，则 %是含传m,=字传na 2.平面南片的质最（简讲） 设有一平面薄片，占有xy上闭区城D,它在点(x,的面密度为 P(x,月，这里(x,月在D上非负连续，求此薄片的质量州。 通过“分割”，“取近似”，“求和”，“取极限”，可得 m=典2P,mG 上面是两个不同问题，但最后都归结为求同一形式的极限。类似的问题很多，因此 这种和式的极限很重要。数学上格其抽象出来，引入下列二重积分的定义， 定义设f(,)在有界闭驱城D上有界，格闭驱城D任意分成个小闭区城△1 △C2,△C,其中△C,既表示第i个小区域，又表示第i个小区域的面积。在每 个△C上任取一点(5，)，作黍积f(G,刀)△G（i=1,2,.,n),并作和 存在，则需此极限为通数了(c,)在闭区城D上的二重积份，记作川代x,)0, ∬0aa=会字6na 其中D叫敏积分区域，(x,y)）叫做被积函数，x,y叫做积分安量，dG叫做面积元 说明：1°在直角坐标系中，dG=d红 2

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2°若f(x,y)在有界闭驱城D上连续，则川f(x,)石存在。 前面两个实际问题用二重积分可表示为： a=∬fxda ma片=∬fdo 二重积分的几何意义： ①在D上f(x,y)20 ∬fx,do=g ②在D上f(x,y)≤0 ∬fx,yad=a @在D上f(x,y)有正有负厂(x,y)dG=曲项驻体的体积的代数和。 二、二重积的性质 性质1∬付x)da=∬fx)do （常数可以提出来】 性摄2J∬f(x,y)±g(x,y》do=jf(x,y)do±Jg(x,y)do 性质3若区城D可分为互不相交的两个区城D,D,的并（记为D=D+D,), ∬x,)da=∬xdo+∬f(x.y)da 例如，若D=(x,y)川-2≤x≤2,0≤y≤2)，D为D,D,的并，故有 ∬y-21ao=y-1da+y-1do 3

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性质4如果在D上，寸(x,y)=1,则川do=区城D的面积 性质5如果在D上，(x,)20,则f(x,)do20 性质6（积分中值定理）设(x,y)在有界闭驱城D上连续，则在D上至少存在 点（传.），使得刂fx)dG=了化.)a,其中c为区城D的面职

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