《高等数学》课程授课教案（讲义）第九章 多元函数微分法 第二节 偏导数

第八章多元函数微分法 第二节偏导数 一、偏导数的皖义及其计法 〔1)函数在一点处的偏导数 定义1设函数2=f(x,月在点(0y0)的某邻城内有定义，当y固定在%而x在 处有增星△x时，极限 g+A）-62 △x 存在，则称此极限为函数z=f（x,)在点(0y)处对x的偏导数，记为 、或z(x)、或(0%) 同理，2=f(x,)在点乃(x,)处对y的偏导激定义为下列极限： 典+4-1 Ay dy ly-n ，或2（不0%），或f(0%) 〔2)函数的偏5函数 如果函数z=f(x,)在区城D内每一点(x,)处对x的偏导数都存在，那么这个 偏导数就是x、y的函数，称它为函数z=f(x,月对x的偏导西数〔简称为偏导数)，记为 类似地，可以定义函数2=（不，）对y的偏硒数，记为 多案等、成 密=3+3，所形

1 第 八 章 多元函数微分法 第二节 偏导数

=,密 都年少，多-2y+少加 例2设f(x,)=x2+y 2+y2*0,家0.00,0 0 x2+y2=0 ”Q0-na0m:/00-0 f50.0)=on 0,》-j0,0=0 y y 1+双年 22 最后说明二元函数偏导数的几何意义。 6,W》表标曲g2=x) 在点M(石，%，f(x0,为)》 y=y 个2 处切4，对天的率：，为表示2= 在点Mo(,%,f(不，%)》处切线对y轴的料率 二、合阶偏导数 函数2=f，功的偏导数应 产云广如果物然可以得来偶号徽，陈为二斯导聚

2

a2, 二阶混合偏导数。 =(区，) az、 0y2 同样可得三阶、四阶、.以及？阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数， 少-w1要器品器 整宗=32y-3y-以等=2y-9g2-x 06w,需6的少.-6的-时 等-o n器-款指分规 定理如果函数2=f(x,)的两个二阶混合偏导数 产：和产：在区城D内连续， Oa,-装 小装高 股y0-0九器产y产a: :影=F+y+)u=份二时，*华

3

是装+y++7+ 器+" (+y2+2月 帝F++ 等r （2+y2+z31

4